1. Тело движется прямолинейно по закону х(t) = 3t4 - 2t3 +1 (x в метрах, t в секундах). Найдите его скорость в момент времени t = 2.

II уровень (с развернутой записью решения)

2. Решите уравнение 4+6cos x=−2

3. Найдите наименьшее значение функции у= х^3 –х^2 - 40х + 3 на отрезке [0;4]

4. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у = х+3 , у = -х^2 +8х -7.

Добрый день! Я буду рад помочь вам с решением данных задач.

1. Для того чтобы найти скорость тела в момент времени t = 2, нужно вычислить производную функции х(t) по переменной t и подставить значение t = 2 в полученное выражение. Давайте посмотрим на это пошагово:

Шаг 1: Найдем производную функции х(t). Производная от функции 3t^4 - 2t^3 + 1 будет равна:
х'(t) = 12t^3 - 6t^2

Шаг 2: Подставим значение t = 2 в выражение для производной:
х'(2) = 12(2)^3 - 6(2)^2 = 12*8 - 6*4 = 96 - 24 = 72

Ответ: Скорость тела в момент времени t = 2 составляет 72 м/с.

2. Для решения уравнения 4 + 6cos x = -2 нужно найти значения переменной x, удовлетворяющие данному уравнению. Давайте разберемся с этим шаг за шагом:

Шаг 1: Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
6cos x = -6

Шаг 2: Разделим обе части уравнения на 6:
cos x = -1

Шаг 3: Чтобы найти значения переменной x, нужно найти все углы, косинус которых равен -1. Косинус -1 достигается при значении угла x, равном π. Также следует учесть, что косинус имеет период 2π, поэтому можно добавить любое целое число к π и получить другие значения x.

Ответ: Уравнение 4 + 6cos x = -2 имеет решение x = π + 2πn, где n - целое число.

3. Для нахождения наименьшего значения функции y = x^3 - x^2 - 40x + 3 на отрезке [0;4], нужно найти значения функции в концах отрезка и значения в точках, где производная функции равна нулю. Проанализируем это по шагам:

Шаг 1: Найдем значения функции в концах отрезка:
y(0) = (0)^3 - (0)^2 - 40(0) + 3 = 3
y(4) = (4)^3 - (4)^2 - 40(4) + 3 = 64 - 16 - 160 + 3 = -109

Шаг 2: Найдем точки, где производная функции равна нулю. Это могут быть точки, где функция имеет локальный минимум или максимум.
Для этого найдем производную функции y'(x) = 3x^2 - 2x - 40 и решим уравнение y'(x) = 0:

3x^2 - 2x - 40 = 0

Находим корни этого уравнения, используя квадратное уравнение или графический метод:
x ≈ -3.157, x ≈ 4.157

Шаг 3: Подставим найденные значения x в функцию y для нахождения соответствующих значений y:
y(-3.157) ≈ (-3.157)^3 - (-3.157)^2 - 40(-3.157) + 3 ≈ -97.794
y(4.157) ≈ (4.157)^3 - (4.157)^2 - 40(4.157) + 3 ≈ -108.865

Шаг 4: Сравним значения функции в концах отрезка, найденных точках и значения функций.

Минимальное значение функции y = x^3 - x^2 - 40x + 3 на отрезке [0;4] равно -109 и достигается в точке x = 4.

Ответ: Наименьшее значение функции y = x^3 - x^2 - 40x + 3 на отрезке [0;4] равно -109 и достигается в точке x = 4.

4. Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = -x^2 + 8x - 7, нужно найти точки пересечения этих двух функций и использовать метод интегрирования для вычисления площади между ними.

Шаг 1: Найдем точки пересечения двух функций, приравняв их друг другу:
x + 3 = -x^2 + 8x - 7

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение:
x^2 - 7x + 10 = 0

(x - 2)(x - 5) = 0

Решение этого уравнения дает нам две точки пересечения: x = 2 и x = 5.

Шаг 3: Для вычисления площади используем метод интегрирования. Так как наша фигура состоит из двух участков, нужно разделить вычисление площади на два интервала: от x = 2 до x = 5 и от x = 5 до x = 7.

Для первого интервала, где y = x + 3, площадь будет равна:
∫(2, 5) (x + 3) dx

= (1/2)x^2 + 3x |(2, 5)

= (1/2)(5^2) + 3(5) - (1/2)(2^2) + 3(2)

= (1/2)(25) + 15 - (1/2)(4) + 6

= 12.5 + 15 - 2 + 6

= 31.5

Для второго интервала, где y = -x^2 + 8x - 7, площадь будет равна:
∫(5, 7) (-x^2 + 8x - 7) dx

= (-1/3)x^3 + 4x^2 - 7x |(5, 7)

= (-1/3)(7^3) + 4(7^2) - 7(7) - [(-1/3)(5^3) + 4(5^2) - 7(5)]

= (-1/3)(343) + 4(49) - 49 - [(-1/3)(125) + 4(25) - 35]

= -(-114.33) + 196 - 49 - (-41.67 + 100 - 35)

= 114.33 + 196 - 49 + 41.67 - 100 + 35

= 237

Шаг 4: Сложим площади двух интервалов, чтобы получить общую площадь фигуры:
Общая площадь = 31.5 + 237 = 268.5

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = -x^2 + 8x - 7, равна 268.5 квадратных единиц.

Надеюсь, данное объяснение поможет вам понять эти задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!