1. Дано (3x^4-2x^2+2)^4-(4x^4-x^2+1)^2. Найдите

а) степень многочлена;

б) старший коэффициент и свободный член;

в) сумму коэффициентов многочлена;

г) сумму коэффициентов при четных

степенях.

2) Найдите значения А и В при которых

данное тождество верное

2x^5+3x^4-x^2-2x-4=(x^2+1)(2x^3+Ax^2+Bx-4)

3) Многочлен x^4+kx^3+5x^2+4x-12 делится на двучлен x+2 без остатка. Используя теорему Безу,

найдите остаток при делении данного

многочлена на двучлен x-2

4) Используя деление «уголком», запишите в

каноническом виде частное при делении

многочлена h(x)=x^3+kx^2-x-10 на двучлен (x-2). Найдите все корни многочлена и разложите его на множители.

1.
a) Для определения степени многочлена нужно найти максимальную степень, которая присутствует в нем. В данном случае, степень многочлена равна 4, так как это самая высокая степень, которая встречается в обоих членах.

b) Старший коэффициент многочлена определяется коэффициентом при самой высокой степени. В первом члене этот коэффициент равен 3, а во втором - 4. Чтобы найти старший коэффициент многочлена, нужно вычесть квадрат коэффициента второго члена из куба коэффициента первого члена: 3^2 - 4^2 = 9 - 16 = -7. Свободный член многочлена определяется коэффициентом при нулевой степени. В первом члене этот коэффициент равен 2, а во втором - 1. Чтобы найти свободный член многочлена, нужно вычесть квадрат свободного члена второго члена из куба свободного члена первого члена: 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3. Таким образом, старший коэффициент равен -7, а свободный член равен 3.

в) Сумма коэффициентов многочлена равна сумме всех коэффициентов при каждой степени. В данном случае, сумма коэффициентов равна сумме всех чисел в многочлене: 3 + (-2) + 2 + (-4) + 4 + (-1) + 1 = 3.

г) Сумма коэффициентов при четных степенях равна сумме коэффициентов при 0, 2, 4, ... степенях. В данном случае это: 3 + 2 + 4 + 1 = 10.

2.
Чтобы найти значения А и В, нужно раскрыть правую сторону равенства:

2x^5 + 3x^4 - x^2 - 2x - 4 = (x^2 + 1)(2x^3 + Ax^2 + Bx - 4)

Раскроем скобки:

2x^5 + 3x^4 - x^2 - 2x - 4 = 2x^5 + (2Ax^4 + 2x^2) + (Bx^3 + Bx) + (-4x^2 - 4)

Соберем коэффициенты при одинаковых степенях:

3x^4 - x^2 - 2x - 4 = 2Ax^4 - 4x^2 + Bx^3 + 2x^2 + Bx - 4

Сравним коэффициенты при каждой степени:

При x^4: 3 = 2A, значит A = 3/2
При x^3: 0 = B
При x^2: -1 = -4 + 2, значит 0 = -2
При x: -2 = B - 4, значит B = 2

Таким образом, значения A = 3/2 и B = 2.

3.
Используя теорему Безу, мы можем найти остаток от деления многочлена на двучлен. В данном случае, многочлен x^4 + kx^3 + 5x^2 + 4x - 12 делится на двучлен x + 2 без остатка. Применим теорему Безу:

Пусть P(x) - исходный многочлен, D(x) - двучлен, Q(x) - частное, R(x) - остаток.

Исходный многочлен: P(x) = x^4 + kx^3 + 5x^2 + 4x - 12
Двучлен: D(x) = x + 2

Выпишем деление "уголком":

x^3 + 3x^2 + 3x + 9
________________________
x + 2 | x^4 + kx^3 + 5x^2 + 4x - 12
- (x^4 + 2x^3)
_________________
(k - 2)x^3 + 5x^2 + 4x - 12
- (k - 2)(x^3 + 2x^2)
___________________
(5 - 2(k - 2))x^2 + 4x - 12
- (5 - 2(k - 2))(x + 2)
_______________________
(4 - 2(5 - 2(k - 2)))x - 12
- x(4 - 2(5 - 2(k - 2))) - 24
________________________
-12

Последний остаток равен -12.

Таким образом, остаток при делении данного многочлена на двучлен x - 2 равен -12.

4.
Для записи многочлена в каноническом виде при делении "уголком", нужно расположить многочлены в порядке убывания степеней и выполнить деление по столбикам.

Исходный многочлен: h(x) = x^3 + kx^2 - x - 10
Двучлен: (x - 2)

Выпишем деление "уголком":

x^2 + 3kx + 5
__________________
x - 2 | x^3 + kx^2 - x - 10
- (x^3 - 2x^2)
______________
(k + 2)x^2 + x - 10
-((k + 2)(x - 2))
________________
x + 2k - 10

Таким образом, частное при делении многочлена h(x) = x^3 + kx^2 - x - 10 на двучлен (x - 2) равно x^2 + 3kx + 5. Чтобы найти корни многочлена, нужно приравнять его к нулю и решить уравнение:

x^2 + 3kx + 5 = 0

5.
Чтобы разложить данный многочлен на множители, нужно найти его корни. Мы можем воспользоваться найденным частным от деления многочлена h(x) на (x - 2):

x^2 + 3kx + 5 = 0

Для нахождения корней можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае, a = 1, b = 3k, c = 5. Подставим значения в формулу:

D = (3k)^2 - 4(1)(5)
D = 9k^2 - 20

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение имеет два комплексных корня.

Если D = 0:

9k^2 - 20 = 0
9k^2 = 20
k^2 = 20/9
k = ±√(20/9)

Если D > 0:

9k^2 - 20 > 0
9k^2 > 20
k^2 > 20/9
k > ±√(20/9)

Если D < 0:

9k^2 - 20 < 0
9k^2 < 20
k^2 < 20/9
k < ±√(20/9)

Таким образом, многочлен разлагается на множители в виде (x - 2)(x^2 + 3kx + 5), где k может быть любым числом из промежутка (-∞, -√(20/9)) ⋃ (-√(20/9), √(20/9)) ⋃ (√(20/9), +∞).