Сторона равностороннего треугольника равна 20 корней из 3. найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Высота (она же медиана и высота) треугольника равна 20*корень из*3*(корень из 3)/2=10*3=30. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник: треть медианы. 30:3=10.
ответ: 10.

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства равностороннего треугольника. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны между собой. Также, в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о центре вписанной окружности в треугольнике. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Биссектриса треугольника - это линия, которая делит угол пополам.

Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужно найти длину биссектрисы треугольника. Мы можем использовать теорему о биссектрисе треугольника, которая гласит: "Биссектриса треугольника делит противолежащую ей сторону пропорционально длинам двух других сторон треугольника".

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, поэтому мы можем сказать, что биссектриса треугольника делит каждую сторону на две равные части. Таким образом, мы можем найти длину биссектрисы, деля длину стороны треугольника пополам.

Длина стороны равностороннего треугольника равна 20 корней из 3. Для нахождения длины биссектрисы мы делим эту длину пополам:
20 корней из 3 / 2 = 10 корней из 3.

Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности, мы должны знать следующую формулу: радиус вписанной окружности равен площади треугольника, делённой на полупериметр треугольника.

Площадь равностороннего треугольника можно найти с помощью формулы Герона:
Площадь = квадратный корень из (полупериметр * (полупериметр - сторона1) * (полупериметр - сторона2) * (полупериметр - сторона3)),
где полупериметр = (сторона1 + сторона2 + сторона3) / 2.

В равностороннем треугольнике, так как все стороны равны, мы можем записать формулу для полупериметра следующим образом:
Полупериметр = 3 * сторона.

Подставим значения в формулу площади треугольника:
Площадь = квадратный корень из ((3 * сторона) * ((3 * сторона) - сторона1) * ((3 * сторона) - сторона2) * ((3 * сторона) - сторона3)).

В нашем случае, сторона равностороннего треугольника равна 20 корней из 3. Подставим это значение в формулу:
Площадь = квадратный корень из ((3 * 20 корней из 3) * ((3 * 20 корней из 3) - сторона1) * ((3 * 20 корней из 3) - сторона2) * ((3 * 20 корней из 3) - сторона3)).

Теперь, чтобы найти полупериметр, умножим сторону на 3:
Полупериметр = 3 * 20 корней из 3 = 60 корней из 3.

Подставим значение полупериметра в формулу площади:
Площадь = квадратный корень из ((60 корней из 3) * ((60 корней из 3) - сторона1) * ((60 корней из 3) - сторона2) * ((60 корней из 3) - сторона3)).

Вычислим значение под корнем:
(60 корней из 3) - сторона1 = (60 корней из 3) - 10 корней из 3 = 50 корней из 3.
(60 корней из 3) - сторона2 = (60 корней из 3) - 10 корней из 3 = 50 корней из 3.
(60 корней из 3) - сторона3 = (60 корней из 3) - 10 корней из 3 = 50 корней из 3.

Подставим эти значения в формулу площади:
Площадь = квадратный корень из ((60 корней из 3) * (50 корней из 3) * (50 корней из 3) * (50 корней из 3)).

Вычислим это значение:
Площадь = квадратный корень из (60 * 50 * 50 * 50 * (корень из 3) * (корень из 3) * (корень из 3)).

Мы можем упростить это выражение:
Площадь = квадратный корень из (60 * 50 * 50 * 50 * 3) = квадратный корень из (60 * 125000 * 3).

Посчитаем это значение:
Площадь = квадратный корень из 22500000 = 1500.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности, разделив площадь на полупериметр:
Радиус = Площадь / Полупериметр = 1500 / (60 корней из 3).

Чтобы делить на корень из 3, нам нужно умножить и поделить на корень из 3:
Радиус = 1500 / (60 корней из 3) * (корень из 3 / корень из 3) = (1500 корней из 3) / ((60 корней из 3) * (корень из 3)).

Упростим это выражение:
Радиус = (1500 корней из 3) / (60 * корень из 3) = (50 корней из 3) / 2 = 25 корней из 3.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 20 корней из 3, равен 25 корней из 3.