Ребро куба равно с. найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины

Куб ABCDA1B1C1D1, надо найти расстояние от C1 до BD1. 
Надо построить плоскость, проходящую через точку C1 и перпендикулярную BD1. 
Фигура A1C1DD1 - правильная треугольная пирамида с вершиной D1. Отсюда следует, что D1 проектируется на основание A1C1D в центр O правильного треугольника A1C1D (то есть в точку, которая одновременно является точкой пересечения высот, медиан, биссектрис и центром описанной окружности треугольника A1C1D). 
Точно так же фигура A1C1DB - правильная треугольная пирамида (в данном случае - это вообще правильный тетраэдр, у которого все ребра равны, то есть все грани - правильные треугольники). Поэтому точка B тоже проектируется на A1C1D в центр O. 
Это означает, что плоскость A1C1D перпендикулярна BD1, и диагональ BD1 пересекает эту плоскость в центре O правильного треугольника A1C1D (потому что в точке O можно провести только один перпендикуляр к плоскости A1C1D). 
Поэтому искомое расстояние равно OC1, то есть радиусу окружности, описанной вокруг правильного треугольника A1C1D со стороной c√2; то есть c√(2/3) = c√6/3;

(Легко проверить, что любой выбор равнозначен, можно искать расстояние от C1 до A1C или от D до A1C, это все одно и то же :). Легко-то - легко, а почему? :) )