Образуют ли линейное пространство над R все строки над
R следующего вида?
(x,0,y,0);

Да, все строки над R следующего вида (x,0,y,0) образуют линейное пространство над R.

Для того чтобы доказать это, мы должны проверить два условия:

1. Замкнутость относительно сложения:
Для этого нам нужно показать, что если у нас есть две строки (x_1, 0, y_1, 0) и (x_2, 0, y_2, 0), их сумма тоже будет иметь такой же вид.

(x_1, 0, y_1, 0) + (x_2, 0, y_2, 0) = (x_1 + x_2, 0, y_1 + y_2, 0)

Мы видим, что сумма также имеет тот же вид, а значит, условие замкнутости выполняется.

2. Замкнутость относительно умножения на скаляр:
Для этого нам нужно показать, что если у нас есть строка (x, 0, y, 0) и число a из R, их произведение тоже будет иметь такой же вид.

a * (x, 0, y, 0) = (a * x, 0, a * y, 0)

Мы видим, что произведение также имеет тот же вид, а значит, условие замкнутости выполняется.

Таким образом, строки вида (x, 0, y, 0) образуют линейное пространство над R, так как выполняются оба условия замкнутости относительно сложения и умножения на скаляр.