1 В автохозяйстве имеются две автоцистерны. Вероятность тех­нической исправности этих машин составляет, соответственно, 0,9 и 0,8. Найти вероятность исполнения второй автоцистерной работы заказчику, сделавшему накануне заказ на автоцистерну. 2. Инвестор решил вложить поровну средств в три предприятия при условии возврата ему каждым предприятием через определенный срок 150 \% от вложенной суммы, Вероятность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти вероятность т ого, что по истечении срока кре­дитования инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму.

3. При проверке изделия на соответствие стандарту вероятность того, что оно пройдет через первого контролера, равна 0,55, а через второго — 0,45. Вероятность признания изделия без брака стандарт­ным у первого контролера равна 0,9, а у второго — 0.98. Контролеры имеют различную квалификацию. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие через второго контролера.

4. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок поразил цель, если ве­роятность попадання в цель стрелками равны 0.4, 0,3 и 0,5 соответст-Iієн по

5. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет роїию 50 девочек.

6. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 не­зависимых испытаний. Найти вероятность появления события: а) не менее 1470 раз; б) не менее 1470 и не более 1500 раз; в) не более 1469 раз.

7. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого че­ловека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, среди какого чис­ла взрослых человек можно ожидать, что в поликлинику будет не ме­нее 75 обращений.

8 В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 кли­ентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. лен. ед, при условии возврата 110\% от этой суммы. Вероятность невозврата кре­дита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая при­быль гарантирована банку с вероятностью: а) 0,8; б) 0.995?

1. Для нахождения вероятности исполнения второй автоцистерны работы заказчику нужно учесть, что возможны две ситуации: обе машины исправны или хотя бы одна из них неисправна. Вероятность того, что обе машины исправны, равна произведению вероятностей исправности каждой из них: 0,9 * 0,8 = 0,72. Вероятность того, что хотя бы одна машина неисправна, можно найти вычитанием вероятности обратной ситуации из 1. Вероятность обратной ситуации (обе машины исправны) равна 1 - 0,72 = 0,28. Таким образом, вероятность исполнения второй автоцистерны работы заказчику будет равна 0,28.

2. Для нахождения вероятности того, что инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму, нужно учесть, что возможны две ситуации: все предприятия не обанкротятся или хотя бы одно из них обанкротится. Вероятность того, что все предприятия не обанкротятся, равна произведению вероятностей того, что каждое из предприятий не обанкротится: (1-0,2) * (1-0,2) * (1-0,2) = 0,512. Вероятность обратной ситуации (хотя бы одно предприятие обанкротится) можно найти вычитанием вероятности обратной ситуации из 1. Вероятность обратной ситуации равна 1 - 0,512 = 0,488. Таким образом, вероятность того, что инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму, будет равна 0,488.

3. Для нахождения вероятности того, что изделие было признано стандартным через второго контролера, нужно учесть, что изделие могло быть признано стандартным после проверки первым контролером и далее прошло проверку вторым контролером, или же оно сразу прошло проверку вторым контролером. Вероятность того, что изделие признано стандартным первым контролером, равна 0,55. Вероятность того, что изделие признано стандартным вторым контролером (опуская проверку первым контролером), равна 0,45. Так как контролеры имеют различную квалификацию, вероятность признания изделия без брака вторым контролером будет отличаться от 0,9 и составит 0,98. Таким образом, вероятность того, что изделие признано стандартным через второго контролера, можно найти как сумму произведений вероятностей каждой возможной ситуации: 0,55 * 0,98 + 0,45 = 0,539.

4. Создадим таблицу возможных ситуаций:
| | Первый стрелок | Не первый стрелок |
|----------|---------------|------------------|
| Поразил | A | B |
| Не поразил | C | D |
Нам известно, что две пули поразили цель, следовательно, сумма вероятностей A и B равна 2/3. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,4. Таким образом, вероятность A равна 0,4 * 2/3 = 8/30 = 4/15. Ответ: вероятность того, что первый стрелок поразил цель, равна 4/15.

5. Для нахождения вероятности того, что среди 100 новорожденных будет как минимум 50 девочек, нужно учесть все возможные исходы: 50 девочек, 51 девочка, 52 девочки и т.д. Для каждого исхода можно найти вероятность произведением вероятности рождения девочки (0,51) на вероятность рождения мальчика (1-0,51 = 0,49) в нужной соотношении исхода. Затем нужно сложить все такие вероятности. Можно воспользоваться биномиальным распределением, где вероятность успеха p = 0,51, количество испытаний n = 100, а количество успехов k будет увеличиваться от 50 до 100. Ответ: вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 и более девочек, можно найти как сумму вероятностей по биномиальному распределению.

6. a) Для нахождения вероятности появления события не менее 1470 раз в 2100 испытаний нужно использовать биномиальное распределение, где вероятность успеха p = 0,7, количество испытаний n = 2100, а количество успехов k будет увеличиваться от 1470 до 2100. Ответ: вероятность появления события не менее 1470 раз в 2100 испытаниях можно найти как сумму вероятностей по биномиальному распределению.

b) Для нахождения вероятности появления события не менее 1470 и не более 1500 раз в 2100 испытаниях нужно сложить все вероятности появления события от 1470 до 1500 по биномиальному распределению.

в) Для нахождения вероятности появления события не более 1469 раз в 2100 испытаниях нужно использовать дополнение события появления события не более 1469 раз, то есть 1 минус вероятность события появления не менее 1470 раз, найденная в пункте а).

7. Для нахождения числа взрослых людей, при котором ожидается не менее 75 обращений в поликлинику, нужно использовать биномиальное распределение, где вероятность обращения в поликлинику p = 0,8, количество испытаний n - количество взрослых людей, а количество успехов k будет увеличиваться от 75 до n. Решая это уравнение, можно найти значение числа взрослых людей.

8. Для нахождения прибыли, гарантированной банку с заданной вероятностью, нужно найти такую сумму кредита, при которой вероятность невозврата ни одним клиентом будет меньше или равна заданной вероятности. Для этого нужно рассмотреть все возможные суммы возвратов кредита и вероятности каждого случая, а затем подобрать сумму, при которой выполнится условие. Вероятность невозврата кредита хотя бы одним клиентом можно вычислить с помощью формулы: 1 - (1 - p)^n, где p = 0,01 - вероятность невозврата кредита одним клиентом, n = 1000 - количество клиентов. Подставляя различные значения p и суммы кредита можно найти прибыль, удовлетворяющую заданной вероятности.