Зачем нужно уметь выполнять морфемный и словообразовательный разбор?

Вы не записали предложение, поэтому точно указать синтаксическую роль существительного дорога невозможно. Это может быть и подлежащее (Дорога уходит в даль), и сказуемое (Это моя дорога).

Кроме того, без предложения даже определить, какая это часть речи, невозможно: скорее всего, это существительное доро́га, но так как ударение не поставлено, а предложения нет, то данное слово можно принять и за краткое прилагательное дорога́ (Мне дорога́ память о

А разборы у этих разных частей речи тоже, само собой разумеется, разные.

Доро́га – имя существительное.
I Обозначает предмет: что? дорога.
Н.ф. – дорога.
II Морфологические признаки: постоянные – нарицательное, неодушевлённое, женского рода, 1 склонения; непостоянные – в единственном числе, в именительном падеже (замечу, что винительный падеж в единственном числе – дорогу, во множественном – дороги).
III (Что?) дорога (подлежащее или сказуемое, объяснение выше).

Дорога́ – имя существительное.
I Обозначает признак предмета: какова? дорога́.
Н.ф. – дорого́й.
II Морфологические признаки: постоянные – качественное; непостоянные – в краткой форме, в единственном числе, женском роде.
III (Какова?) дорога́ (сказуемое).

Слово чугун по составу разобрать просто:

чугу́н/ – корень/нулевое окончание; основа слова – чугун.

А вот словообразовательный разбор подобных слов не делается, так как это первообразное, непроизводное слово, то есть такое, которое не образовано ни от какого другого слова, а наоборот, дало начало всем остальным однокоренным словам:
✔ чугунка,
✔ чугунный
✔ чугуновоз,
✔ чугуновозный,
✔ чугунок,
✔ чугунолитейный,
✔ чугуноплавильный,
✔ чугунчик.

Добавлю, что заимствовано слово чугун в XVIII веке из тюркских языков, где, как предполагают учёные-лингвисты, имело исходное значение "железная руда".