Проживать в гостинице склонение и падеж

ответ:Предложный падеж.

Объяснение:

Проживать (где? в ком? в чём?) в гостинице.

Судя по поставленному падежному вопросу и наличию предлога ("в"), - это Предложный падеж.

Проживать (где?) в гостинице - предложный падеж, женский род, единственное число, обстоятельство