Почему в слове опасный пишется одна буква н

Это отглагольное прилагательное. Оно образовано от бесприставочного глагола несовершенного вида СТУДИТЬ, поэтому и пишется с одной Н.

Вспомните правило написания Н и НН в причастиях и отглагольных прилагательных:
Пишем НН, если
а) есть приставка, кроме НЕ: скошенный, нескошенный, выкрашенный, израненный;
б) есть зависимое слово: крашенный мамой, сеянный весной, раненный в бою;
в) есть суффикс ОВА, ЕВА: маринованный, асфальтированный;
г) слово образовано от бесприставочного глагола совершенного вида: решённый (от решить – что сделать?) , исключение раненый.
Пишем Н, если
слово образовано от бесприставочного глагола несовершенного вида: жареный, бешеный, студёный и т. д. (от жарить, бесить, студить – что делать? )

В таких словах нужно придерживаться правилу правописания -н- и -нн- в суффиксах прилагательных.
В словах с приставками -АН- -ЯН- -ИН- пишется одна -Н-
Гус-ин-ый, травя-н-ой, кожа-н-ый
В приставках -ОНН- -ЕНН- соответственно, две
Исключения: СТЕКЛЯ-НН-ЫЙ, ОЛОВЯ-НН-ЫЙ, ДЕРЕВЯ-НН-ЫЙ, ВЕТРЯ-Н-ЫЙ