Какой частью речи является слово "должен"? и какая у него начальная форма?

Принадлежность слова ДОЛЖЕН к какой-либо части речи разные лингвисты рассматривают по-разному. 

ДОЛЖЕН, жна́, жно́, в знач. сказуемого. 
1. кому-чему. Должник кого-н. , обязан уплатить что-н. кому-н. Я вам д. три рубля. 2. с инф. Обязан сделать что-н. Служащие должны во время являться на работу. || О том, что непременно, неизбежно совершится, произойдет. Затмение должно наступить в три часа. || Служит для выражения вероятности, предполагаемой неизбежности какого-н. события. Она должна была прийти еще вчера. Подождите, он д. вернуться к обеду. 

Большой толковый словарь 
ДОЛЖЕН, -жна, -жно; нареч. , в функц. сказ. 
1. с инф. 
Обязан (делать что-л. , обладать каким-л. качеством) . Шахматист д. закончить партию. Хозяйка должна приготовить завтрак. Ты д. быть добрее. // 
О том, что совершится обязательно, непременно или может совершиться. Д. скоро вернуться. * Всё на земле должно измениться мало-помалу (Чехов) . // 
Вынужден, принуждён. Чтобы выздороветь, я должен принимать лекарства. 
2. (кому) . 
Обязан уплатить долг. Сосед д. за квартиру. Д. мне сто рублей. < Должно быть, в зн. вводн. словосоч. 
По всей видимости, вероятно. Далеко, дальше деревни, должно быть, кричала птица. Это, должно быть, его знакомый. 

Я с такой трактовкой согласиться никак не могу, ведь наречие – неизменяемая часть речи и единственными формами изменения некоторых наречий являются степени сравнения, а слово ДОЛЖЕН изменяется по родам и числам. 

В школьных учебниках слово ДОЛЖЕН относят к КРАТКИМ ПРИЛАГАТЕЛЬНЫМ (посмотрите тему «Составное глагольное сказуемое» - там указывается, что вместо вс глагола в состав такого сказуемого могут входить КРАТКИЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНЫЕ рад, должен, готов и т. п.) , и это, на мой взгляд, самое верное решение: есть полная форма прилагательного ДОЛЖНЫЙ (сравните: красный) , есть его краткие формы ДОЛЖЕН, ДОЛЖНА, ДОЛЖНО, ДОЛЖНЫ (сравните: красен, красна, красно, красны) . Краткие прилагательные в предложении – сказуемые, слово ДОЛЖЕН – тоже сказуемое. 

Ни глаголом, ни причастием ДОЛЖЕН и ДОЛЖНЫЙ быть не могут: глаголы обозначают действия, у причастий специфические суффиксы: УЩ, ЮЩ, АЩ ЯЩ, ВШ, Ш, ОМ, ЕМ, ИМ, ЕНН, ЁНН, НН, Т – ни одного из них нет в слове ДОЛЖНЫЙ, кроме того, причастия образуются от глаголов.