Какая часть речи и член предложения - будто ? ? ветви, будто крылья, опустив.

Будто- это сравнительный союз, а значит  не является членом предложения.

Ветви, будто крылья, опустив. (Если можешь заменить другим, хорошо знакомым тебе сравнительным союзом, ты будешь права.)

Смотри: 

Ветви, как крылья, опустив.

Ветви, как будто крылья, опустив.

Ветви, словно крылья, опустив.

Кстати, союзы не являются членами предложения.