Как правильно: мягко стелет или мягко стелит?

Стелить - глагол 1 спряжения, относится к глаголам - исключениям (брить, стелить), которые оканчиваются на - ить, но относятся к глаголам 1 спряжения.
Поэтому имеют при спряжении в 3 -ем лице ед. числа окончание  - ет.
Следовательно: СТЕЛЕТ.