Исследовать функцию на монотонность и экстремумы а) y=x^2-2x^2

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции D(y).

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график .

Пример: Исследовать функцию и построить ее график: y = x3 – 3x

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞).

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ : решим уравнение x3 – 3x = 0

.

с осью ОY: y(0) = 03 – 3*0 = 0

3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:

y(-x) = (-x)3 – 3(-x) = -x3 + 3x = - (x3 – 3x) = -y(x)

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодична.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y’ = 3x2 - 3.

Критические точки: 3x2 – 3 = 0, x2 =1, x= ±1.