Знайти розв'язок ДР який задовольняє умови: у"-4у'=0, якщо у=1, у=0 при х=0

Для знаходження розв'язку даного диференціального рівняння, можемо скористатися методом розділення змінних.

Почнемо зі записування даного ДР:

у" - 4у' = 0

Для зручності введемо нову змінну:

v = у'

Тоді отримаємо:

v' - 4v = 0

Це рівняння можна легко вирішити. Знайдемо загальний розв'язок цього рівняння:

v' - 4v = 0

v' = 4v

1/v ⋅ dv = 4 ⋅ dx

Інтегруємо обидві частини:

∫ (1/v) dv = 4 ∫ dx

ln|v| = 4x + C1

де C1 - довільна постійна.

Тепер, враховуючи, що v = у', маємо:

ln|у'| = 4x + C1

Подальше інтегрування дасть нам розв'язок відносно y:

∫ (1/у') du = ∫ (4x + C1) dx

ln|у'| = 2x^2 + C1x + C2

де C2 - ще одна довільна постійна.

Тепер можемо визначити значення початкових умов, коли у = 1 при х = 0:

ln|1'| = 2(0)^2 + C1(0) + C2

ln|1| = C2

C2 = 0

Також, коли у = 0 при х = 0:

ln|0'| = 2(0)^2 + C1(0) + C2

ln|0| = 0 + 0 + 0

ln|0| = 0

Проте, ln(0) не визначений, тому ми не можемо використовувати y = 0 при x = 0 як початкову умову.

Отже, за умови, що y = 1 при x = 0, отримуємо:

ln|у'| = 2x^2 + C1x

у' = e^(2x^2 + C1x)

у = ∫ e^(2x^2 + C1x) dx

Зауважте, що інтеграл ∫ e^(2x^2 + C1x) dx не може бути виражений у термінах елементарних функцій. Тому, в цьому випадку, розв'язок ДР буде представляти функціональне вираз.

Таким чином, розв'язок ДР у"-4у'=0 з початково

Пошаговое объяснение: