Значение производной функции f(х) = x(-x/2-1) в точке х0 = 1 равно

Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом!

Для начала, чтобы найти значение производной функции f(x) = x(-x/2-1) в точке x0 = 1, нам потребуется использовать основное определение производной функции.

Итак, основное определение производной гласит, что производная функции f(x) в точке x0 равна пределу отношения изменения функции к изменению аргумента, когда аргумент стремится к x0. Формула для основного определения производной выглядит следующим образом:

f'(x0) = lim(h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h,

где h - некоторое изменение аргумента.

Применяя формулу основного определения производной к нашей функции f(x) = x(-x/2-1), мы получаем:

f'(1) = lim(h→0) [f(1 + h) - f(1)] / h.

Теперь давайте выполним подстановку значений:

f(1 + h) = (1 + h)(- (1 + h)/2 - 1) = (1 + h)(-1/2 - h/2 - 1) = (1 + h)(-3/2 - h/2),

f(1) = 1(-1/2 - 1) = -3/2.

Подставив полученные значения в формулу основного определения производной, получим:

f'(1) = lim(h→0) [(1 + h)(-3/2 - h/2) - (-3/2)] / h.

Сначала раскроем скобки в числителе:

(1 + h)(-3/2 - h/2) = -3/2 - 3h/2 - h/2 - h^2/2 = -3/2 - 4h/2 - h^2/2 = -3/2 - 2h - h^2/2.

Подставим полученное выражение в формулу производной:

f'(1) = lim(h→0) [-3/2 - 2h - h^2/2 - (-3/2)] / h.

Теперь упростим числитель:

[-3/2 - 2h - h^2/2 - (-3/2)] = -3/2 + 3/2 + 2h - h^2/2 = 2h - h^2/2.

Подставим полученное выражение в формулу производной:

f'(1) = lim(h→0) [2h - h^2/2] / h.

Теперь упростим дробь:

[2h - h^2/2] / h = 2 - h/2.

Подставляем полученное выражение обратно в формулу производной:

f'(1) = lim(h→0) 2 - h/2.

Осталось лишь вычислить предел. При подстановке h=0, значение всего выражения будет равно:

f'(1) = 2 - 0/2 = 2.

Таким образом, мы получили, что значение производной функции f(x) = x(-x/2-1) в точке x0 = 1 равно 2.

Надеюсь, что мой подробный ответ помог вам понять, как найти значение производной функции в заданной точке при использовании основного определения производной. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!