Заданы значения yi функции f(x) в точках xi. Найти значение функции f(x) при x=x*. Решить задачу с линейного и параболического интерполяционного многочлена Лагранжа
x -1 2 4 5
y -3 4 5 3 x*=3

Для решения данной задачи с линейным и параболическим интерполяционным многочленом Лагранжа нам надо сначала найти коэффициенты этих многочленов.

1. Линейный интерполяционный многочлен Лагранжа:
Для нахождения линейного интерполяционного многочлена Лагранжа нам понадобятся значения функции при x = -1 и x = 2.
По формуле линейного интерполяционного многочлена Лагранжа:

L₁(x) = (x - x₂) / (x₁ - x₂) * y₁ + (x - x₁) / (x₂ - x₁) * y₂

где x₁ и x₂ - заданные точки, y₁ и y₂ - значения функции в этих точках, x - значение, для которого мы хотим найти значение функции (x*).

Подставим значения из задачи в формулу:
L₁(x*) = (x* - 2) / (-1 - 2) * 4 + (x* - (-1)) / (2 - (-1)) * (-3)

Упростим это выражение:
L₁(x*) = -2/3 * 4 + (x* + 1) / 3 * (-3)
L₁(x*) = -8/3 - (x* + 1)

Таким образом, значение функции при x = 3 для линейного интерполяционного многочлена Лагранжа равно -8/3 - (3+1) = -8/3 - 4 = -20/3.

2. Параболический интерполяционный многочлен Лагранжа:
Для нахождения параболического интерполяционного многочлена Лагранжа нам понадобятся значения функции при x = -1, x = 2 и x = 4.
По формуле параболического интерполяционного многочлена Лагранжа:

L₂(x) = (x - x₁)(x - x₂) / (x₀ - x₁)(x₀ - x₂) * y₀ + (x - x₀)(x - x₂) / (x₁ - x₀)(x₁ - x₂) * y₁ + (x - x₀)(x - x₁) / (x₂ - x₀)(x₂ - x₁) * y₂

где x₀, x₁ и x₂ - заданные точки, y₀, y₁ и y₂ - значения функции в этих точках, x - значение, для которого мы хотим найти значение функции (x*).

Подставим значения из задачи в формулу:
L₂(x*) = (x* - (-1))(x* - 2) / (-1 - (-1))(x* - 2)(-3) + (x* - (-1))(x* - 4) / (2 - (-1))(2 - 4)(4) + (x* - 2)(x* - 4) / (4 - 2)(4 - (-1))(5)

Упростим это выражение:
L₂(x*) = (x* + 1)(x* - 2) / 3 * (-3) + (x* + 1)(x* - 4) / 9 * 10 + (x* - 2)(x* - 4) / 8 * (-15)
L₂(x*) = (x* + 1)(x* - 2) - 3(x* + 1)(x* - 4) - (2(x* - 2)(x* - 4)) / 3 - 3 + 10 + 15
L₂(x*) = 4(x* + 1) - 3(x* + 1)(x* - 4) + 3(x* - 2)(x* - 4) / 3 + 22
L₂(x*) = 4x* + 4 - 3(x*^2 - 3x* - 4) + 3(x*^2 - 6x* + 8) / 3 + 22
L₂(x*) = 4x* + 4 - 3x*^2 + 9x* + 12 + 3x*^2 - 18x* + 24 / 3 + 22
L₂(x*) = 10x* + 36 / 3 + 22
L₂(x*) = 10x* + 36 + 66 / 3
L₂(x*) = (10x* + 102) / 3

Таким образом, значение функции при x = 3 для параболического интерполяционного многочлена Лагранжа равно (10*3 + 102) / 3 = 132 / 3 = 44 / 1 = 44.

В итоге, для x = 3 линейный интерполяционный многочлен Лагранжа дает значение функции -20/3, а параболический интерполяционный многочлен Лагранжа дает значение функции 44.