Задание 2.

Запишите:

а) все правильные дроби со знаменателем 5 ( );

б) все неправильные дроби с числителем 5 ( ).

Задание 3 ( ).

При каких натуральных значениях x выполняется неравенство 21-3.png? ответ поясните.

Задание 4 ( ).

Нарисуйте числовой луч, единичный отрезок которого равен 6 клеткам тетради. Поясните, скольким клеткам данного числового луча будут соответствовать дроби 21-4.png. Отметьте данные дроби на числовом луче.

f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки

(

−

∞

;

−

2

)

,

(

−

2

;

3

)

,

(

3

;

5

)

и

(

5

;

+

∞

)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

(

−

∞

;

−

2

)

(

−

2

;

3

)

(

3

;

5

)

(

5

;

+

∞

)

x+2 – + + +

x-3 – – + +

x-5 – – – +

Отсюда ясно, что:

если

x

∈

(

−

∞

;

−

2

)

, то f(x)<0;

если

x

∈

(

−

2

;

3

)

, то f(x)>0;

если

x

∈

(

3

;

5

)

, то f(x)<0;

если

x

∈

(

5

;

+

∞

)

, то f(x)>0.

Мы видим, что в каждом из промежутков

(

−

∞

;

−

2

)

,

(

−

2

;

3

)

,

(

3

;

5

)

,

(

5

;

+

∞

)

функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

-2 3 5

Вообще пусть функция задана формулой

f(x) = (x-x1)(x-x2) ... (x-xn),

где x–переменная, а x1, x2, ..., xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, ..., xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида

(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) > 0,

(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) < 0,

где x1, x2, ..., xn — не равные друг другу числа

Рассмотренный решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство:

x

(

0

,

5

−

x

)

(

x

+

4

)

<

0

Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки

x

=

0

,

x

=

1

2

,

x

=

−

4

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:

-4 0 0,5

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

x

∈

(

−

4

;

0

)

∪

(

0

,

5

;

+

∞

)

или

−

4

<

x

<

0

;

x

>

0

,

5

Решить неравенство:

x

+

2

x

−

1

≤

2

x

+

2

x

−

1

≤

2

⇒

x

+

2

−

2

(

x

−

1

)

x

−

1

≤

0

⇒

−

x

+

4

x

−

1

≤

0

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

1 4

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

x

∈

(

−

∞

;

1

)

∪

[

4

;

+

∞

)

или

x

<

1

;

x

≥

4