Задан  трикутник  АВС  координатами  своїх  вершин :  А(-3,1) ;  В(7,7)  ;  С(5,3) .Записати  рівняння  сторін  АВ  і  АС  та  знайти  їх  довжину ;  знайти  кутові коефіцієнти  сторін  АВ  і  АС  та  кут  між  сторонами  АВ  і  АС  ;  записати рівняння  медіани  АЕ  та  знайти  її  довжину ;  записати  рівняння  висоти СD та знайти  її  довжину.

Задан  трикутник  АВС  координатами  своїх  вершин:  А(-3; 1);  В(7; 7);  С(5; 3).

1) Записати  рівняння  сторін  АВ  і  АС  та  знайти  їх  довжину ;

Находим векторы АВ и АС.

АВ = (7-(-3); 7-1) = (10; 6), модуль равен √(10² + 6²) = √(100 + 36) = √136 = 2√34 ≈ 11,6619.

АС = (5-(-3); 3-1) = (8; 2), модуль равен √(8² + 2²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17 ≈ 8,2462.

Уравнение АВ: (x + 3)/10 = (y - 1)/6    каноническое.

6x + 18 = 10y - 10,

6x - 10y + 28 = 0  или 3x - 5y + 14 = 0    общего вида,

y = (6/10)x + (28/10) или y = 0,6x + 2,8   с угловым коэффициентом.

Уравнение АС: (x + 3)/8 = (y - 1)/2     каноническое.

2x - 8y + 14 = 0  или x - 4 y + 7 = 0    общего вида.

у = (1/4)x + (7/4)            с угловым коэффициентом.

2) знайти  кутові коефіцієнти  сторін  АВ  і  АС  та  кут  між  сторонами  АВ  і  АС  ;  

Угловые коэффициенты определены выше:

к(АВ) = 6/10 = 3/5 = 0,6.

к(АС) = 1/4 = 0,25.

cos(AB_AC) = (10*8 + 6*2)/(2√34*2√17) = 92/(68√2) = 23√2/34 ≈ 0,95667.

Угол А = arccos 0,95667 = 16,928 градуса.

3) записати рівняння  медіани  АЕ  та  знайти  її  довжину ;

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Е = (В(7; 7) + С(5; 3))/2 = (6; 5), модуль равен √(6² + 5²) = √(36 + 25) = √61.

Уравнение АЕ: (x + 3)/6 = (y - 1)/5.

                          5x- 6y + 21 = 0.

                          y = (5/6)x + (21/6).

4) записати  рівняння  висоти СD та знайти  її  довжину.

В уравнении общего вида высоты CD как перпендикуляра к АВ коэффициенты А и В меняются на -В и А.

CD:  5x + 3y + C = 0 , чтобы определить слагаемое С подставим координаты точки С: 5*5 + 3*3 + С = 0, отсюда С =-25 - 9 = -34.

Уравнение CD: 5x + 3y - 34 = 0.

Находим основание высоты CD как точку её пересечения со стороной АВ.

CD: {5x + 3y - 34 = 0|x(5) = 25x + 15y - 170 = 0

AB: {3x - 5y + 14 = 0 |x(3) =   9x - 15y +  42 = 0  

                                             34x          - 128 = 0

x = 128/34 = 64/17 ≈ 3,7647.

y = (3x + 14)/5 = ((3*(64/17)) + 14)/5 = 86/17 ≈ 5,0588.

По разности координат находим CD = 2,401.