Задача 3. Объём производства зимней обуви u=1/3 t^3-7/2 t^2+6t+2100 (ед), выпускаемой фирмой, где t – календарный месяц года. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения вначале года, в середине и в конце года. Обозначения: производительность труда – z(t), скорость - z^' (t), темп изменения производной - T_z (t)=〖[ln⁡〖z(t)〗]〗^'.

По определению производительность труда есть количество времени, затраченное на изготовление единицы продукции.

Имеем функцию U(t), показывающую количество продукции, произведенной от сотворения мира до некоторого момента времени.

За некоторый промежуток времени Dt с момента t1 будет произведено:

S=U(t1+Dt) - U(t1);

Тогда производительность труда на промежутке [t1,t1+Dt]:

П1=Dt/S=Dt/(U(t1+Dt)-U(t1));

Предел П1(Dt,t1) при Dt -> 0 даёт нам производительность труда в момент времени t1.

П=1/(-5*t1^2+40*t1+80)

1) Для получения максимального/минимального значения производительности труда исследуем функцию П (t1) на экстремумы.

Для этого приравниваем первую производную П'(t1) к нулю ("скорость" изменения функции в точке экстремума равна нулю) и решаем полученное уравнение. Исходя из условия задачи берем только те корни, которые удовлетворяют 0<=t<=8 а также моменты времени t1=0 и t1=8. 

Подставляем полученные t1 в П (t1) и сравнив значения производительности выбираем максимальное.

2) Первая производная П (t1) дает скорость изменения производительности труда (V(t1)=П'(t1)), 

вторая производная (A=V'(t1)=П''(t1)) - темп изменения производительности.

Соответственно скорость и темп изменения производительности через час после начала работы и за час до ее окончания будут:

V(1), A(1) и V(7), A(7);

Верхний график - изменение производительности труда во времени, нижний - U(t)

Пошаговое объяснение: