Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C – квадрат, DC равно 4 см, BD1 равно 6 см. Найдите BC и докажите, что плоскости BCD1 и DC1 B1 взаимно перпендикулярны. Задача 2. В прямом двугранном угле дана точка A. Расстояния от точки A до граней угла: AA1=6 см и AB1=8 см. Определите расстояние от точки A до ребра двухгранного угла.

Задача 1.

Для начала построим схему, чтобы было проще понять условие:

```
A____________ A1
/| /|
/ | / |
D/____________/_|D1
| | | |
| C_______|__C1
| / | /
|/ |/
B/__________ B1
```

Из условия задачи мы знаем, что грань DC1C - квадрат, DC = 4 см и BD1 = 6 см.

1. Найдем BC.
Поскольку грань DC1C - квадрат, значит, DC = DC1 и CC1 = DC.
Также из симметрии параллелепипеда следует, что BC = AD1.
Поэтому нам нужно найти AD1. Рассмотрим треугольник ADD1.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ADD1:
(AD1)^2 = (AD)^2 + (D1D)^2
(AD1)^2 = (6)^2 + (4)^2
(AD1)^2 = 36 + 16
(AD1)^2 = 52

Возведем обе части уравнения в квадратный корень:
AD1 = sqrt(52)
AD1 ≈ 7.211

Теперь у нас есть значение AD1, чтобы найти BC:
BC = AD1
BC ≈ 7.211 см

2. Докажем, что плоскости BCD1 и DC1B1 взаимно перпендикулярны.
Для этого нужно показать, что вектора, лежащие в этих плоскостях, взаимно перпендикулярны.
Вектор BC принадлежит плоскости BCD1, а вектор B1C1 принадлежит плоскости DC1B1.

Найдем скалярное произведение векторов BC и B1C1:
BC * B1C1 = |BC| * |B1C1| * cos(θ)
BC * B1C1 = 7.211 * 6 * cos(90°)
BC * B1C1 = 7.211 * 6 * 0
BC * B1C1 = 0

Скалярное произведение равно нулю, что означает, что вектора BC и B1C1 взаимно перпендикулярны.
Следовательно, плоскости BCD1 и DC1B1 взаимно перпендикулярны.

Задача 2.

Для начала построим схему, чтобы было проще понять условие:

```
A1
_______
/ /|
/ / |
/ / |
/_______/ |
B1 | |A
| | |
| | |
| | |
| | |
|________|___|
C1 B C
```

Из условия задачи мы знаем, что AA1 = 6 см и AB1 = 8 см.

Нам нужно найти расстояние от точки A до ребра BC.

1. Расстояние от точки A до плоскости ABC.
Поскольку AB1 = 8 см, а BB1 -- ребро двугранного угла, следовательно, расстояние от точки A до плоскости ABC равно AB1.
Расстояние от точки A до плоскости ABC равно 8 см.

2. Расстояние от точки A до плоскости A1BC.
Поскольку AA1 = 6 см, а AC -- ребро двугранного угла, следовательно, расстояние от точки A до плоскости A1BC равно AA1.
Расстояние от точки A до плоскости A1BC равно 6 см.

3. Расстояние от точки A до ребра BC.
Теперь нам нужно найти расстояние между двумя параллельными плоскостями ABC и A1BC.

Расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию от точки A до любой из этих плоскостей. Мы уже знаем, что расстояние от точки A до плоскости ABC равно 8 см, так что расстояние от точки A до ребра BC тоже равно 8 см.

Ответ: Расстояние от точки A до ребра двухгранного угла равно 8 см.