Z=ln(y^2-x^2) Найти область определения указанных функции

Область определения функции означает множество всех допустимых значений, которые могут принимать переменные x и y в данной функции.

В данном случае у нас имеется логарифм функции ln(y^2-x^2). Чтобы значение ln было определено и вещественным числом, аргумент должен быть положительным.

Поэтому мы можем предположить, что аргумент y^2-x^2 должен быть больше нуля, чтобы функция ln была определена. То есть:

y^2-x^2 > 0

Мы можем представить это неравенство как разность двух квадратов:

(y-x)(y+x) > 0

Теперь нам нужно найти значения x и y, при которых это неравенство выполняется. Есть несколько способов решения этого неравенства, но один из них - построение таблицы знаков.

Таблица знаков:
| y-x | y+x |
-------|------------|------------|
y>x | + | + |
y
По таблице знаков мы видим, что неравенство выполняется, когда оба выражения (y-x) и (y+x) одновременно положительны или одновременно отрицательны. Таким образом, у нас есть два диапазона значений, когда неравенство выполняется:

1) y > x и y > -x
2) y < x и y < -x

Это означает, что область определения функции Z=ln(y^2-x^2) состоит из всех значений x и y, которые удовлетворяют одному из этих двух условий.

Например, если взять первое условие (y > x и y > -x), можно выбрать произвольное значение для y, например, y = 1, а затем найти все значения x, которые удовлетворяют этому условию. Если y = 1, то мы получаем неравенство x < 1 и x > -1. Это означает, что все значения x между -1 и 1 являются допустимыми в этом случае.

Аналогично, если выбрать второе условие (y < x и y < -x), можно выбрать произвольное значение для y, например, y = -1, и найти значения x, которые удовлетворяют этому условию. Если y = -1, то получаем неравенство x > 1 и x < -1. Таким образом, все значения x вне диапазона от -1 до 1 будут допустимыми в этом случае.

Итак, область определения функции Z=ln(y^2-x^2) - это все значения x и y, которые удовлетворяют первому или второму условию. В математической записи, это можно записать как:

Область определения: x Є (-∞, -1) ∪ (1, +∞), y Є (-∞, -1) ∪ (1, +∞)

Это означает, что x может быть любым числом вне диапазона от -1 до 1, а y может быть любым числом, кроме тех, которые попадают в диапазон от -1 до 1.