y=x^3-x^2-40x+3 на отрезке [0;4]

Добрый день!

Для начала решим данное уравнение на отрезке [0;4] в самом простом случае – когда x принимает значение 0. Подставим x=0 в уравнение:
y = 0^3 - 0^2 - 40*0 + 3 = 0 - 0 - 0 + 3 = 3.

Таким образом, при x=0, y равно 3.

Теперь решим уравнение для конечной точки отрезка, x=4. Подставим значение x=4 в уравнение:
y = 4^3 - 4^2 - 40*4 + 3 = 64 - 16 - 160 + 3 = -109.

При x=4, y равно -109.

Теперь найдем точку, в которой производная функции равна нулю. Для этого найдем производную функции y=x^3-x^2-40x+3 и приравняем ее к нулю:
y' = 3x^2 - 2x - 40 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a=3, b=-2, c=-40. Подставим значения:
D = (-2)^2 - 4*3*(-40) = 4 + 480 = 484.

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных корня. Найдем эти корни, используя формулу (-b±√D) / (2a):

x1 = (-(-2) + √484) / (2*3) = (2 + 22) / 6 = 24 / 6 = 4,
x2 = (-(-2) - √484) / (2*3) = (2 - 22) / 6 = -20 / 6 = -10/3.

Таким образом, уравнение y=x^3-x^2-40x+3 достигает своего максимального или минимального значения в точках x=4 и x=-10/3. Чтобы понять, в какой из этих точек функция принимает максимальное значение, а в какой – минимальное, можно посмотреть изменение знака производной функции в окрестностях этих точек.

Чтобы определить, какой знак должен быть в окрестности x=4, подставим x=3 в производную функцию:
y' = 3*3^2 - 2*3 - 40 = 27 - 6 - 40 = -19.

Получаем, что производная функции в точке x=3 отрицательна, а значит функция убывает. Значит, в точке x=4 функция достигает своего максимума.

Чтобы определить, какой знак должен быть в окрестности x=-10/3, подставим x=-4 в производную функцию:
y' = 3*(-4)^2 - 2*(-4) - 40 = 48 + 8 - 40 = 16.

Получаем, что производная функции в точке x=-4 положительна, а значит функция возрастает. Значит, в точке x=-10/3 функция достигает своего минимума.

Таким образом, на отрезке [0;4] уравнение y=x^3-x^2-40x+3 принимает максимальное значение при x=4 и минимальное значение при x=-10/3.

Надеюсь, мое объяснение понятно и поможет вам разобраться в данной задаче. Если у вас остались вопросы, буду рад ответить на них!