Y=ln(x+3)^7-7x-9 найти точку max с полным решением

Решение - в приложении

Добрый день! Рассмотрим задачу о поиске точки максимума функции Y = ln(x+3)^7 - 7x - 9.

Шаг 1: Найдем первую производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования логарифма и степенной функции:

Y' = 7*(ln(x+3))^6 * (1/(x+3)) - 7

Шаг 2: Приравняем полученную производную к нулю и решим уравнение:

7*(ln(x+3))^6 * (1/(x+3)) - 7 = 0

Перенесем 7 в правую часть:

7*(ln(x+3))^6 * (1/(x+3)) = 7

Делим обе части уравнения на 7:

(ln(x+3))^6 * (1/(x+3)) = 1

Шаг 3: Обратим внимание на левую часть уравнения. Заметим, что (ln(x+3))^6 всегда положительно, поскольку логарифм и возведение в степень не меняют знак. Также величина (1/(x+3)) также всегда положительная, так как знаменатель (x+3) всегда положительный. Итак, чтобы результат произведения был равен 1, оба множителя должны быть равны 1.

Таким образом, получаем два уравнения:

ln(x+3) = 1 и 1/(x+3) = 1

Шаг 4: Решим первое уравнение:

ln(x+3) = 1

Применяем обратную функцию к логарифму:

e^ln(x+3) = e^1

x+3 = e

x = e - 3

Шаг 5: Решим второе уравнение:

1/(x+3) = 1

Умножаем обе части уравнения на (x+3):

1 = (x+3)

x = -2

Итак, мы получили два решения уравнений: x = e - 3 и x = -2.

Шаг 6: Теперь проверим, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого возьмем вторую производную функции Y:

Y'' = 7*6*((ln(x+3))^5 * (1/(x+3))^2) * (1/(x+3)) - 7

Упростим полученное выражение:

Y'' = 42*(ln(x+3))^5 * (1/(x+3))^3 - 7

Шаг 7: Подставим найденные значения x = e - 3 и x = -2 в выражение для второй производной и проверим их.

Для x = e - 3:

Y'' = 42*(ln((e- 3)+3))^5 * (1/((e-3)+3))^3 - 7

Y'' = 42*(ln(e))^5 * (1/e)^3 - 7

Так как ln(e) = 1 и (1/e)^3 > 0, то вторая производная на этой точке будет положительной.

Для x = -2:

Y'' = 42*(ln((-2)+3))^5 * (1/((-2)+3))^3 - 7

Y'' = 42*(ln(1))^5 * (1/1)^3 - 7

Так как ln(1) = 0 и (1/1)^3 = 1, то вторая производная на этой точке будет положительной.

Шаг 8: Итак, оба значения x = e - 3 и x = -2 дают положительные вторые производные, что означает, что они оба являются точками минимума.

Теперь нам нужно выбрать то значение x, которое дает бОльшее значение функции Y. Для этого подставим найденные значения x в исходную функцию:

Для x = e - 3:

Y = ln((e - 3)+3)^7 - 7*(e - 3) - 9

Y = ln(e)^7 - 7e + 21 - 9

Y = 7 - 7e

Для x = -2:

Y = ln((-2)+3)^7 - 7*(-2) - 9

Y = ln(1)^7 + 14 - 9

Y = 5

Итак, функция Y принимает значение 7 - 7e в точке x = e - 3 и значение 5 в точке x = -2.

Таким образом, нашим ответом будет точка максимума: (e - 3, 7 - 7e).