Y=ln (x^-2x+4)
Найти интервалы возрастания и убывания функций

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нам необходимо найти производную функции и изучить знаки производной на заданном интервале.

1. Начнем с нахождения производной функции Y = ln(x^(-2x + 4)). Для этого применим правило дифференцирования логарифма. Если у вас возникло недопонимание в этом шаге, дайте знать, и я могу пояснить его подробнее.

Производная Y по x равна:
Y' = (d/dx) ln(x^(-2x+4))

2. Далее, нам понадобится использовать несколько свойств логарифма:

a) ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
b) ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
c) ln(a^b) = b*ln(a)

Применяя эти свойства, мы можем переписать производную Y' в более удобном виде:

Y' = (d/dx) ln(x^(-2x+4))
= (d/dx) (-2x+4) * ln(x)
= -2 * ln(x) + 4 * (d/dx) ln(x)

3. Теперь найдем значение (d/dx) ln(x). Воспользуемся формулой производной натурального логарифма:

(d/dx) ln(x) = 1/x

Исходя из этого, мы можем запи́сать производную Y' в окончательном виде:

Y' = -2 * ln(x) + 4 * (1/x)

4. Далее, чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, анализируем знаки производной Y' на промежутках.

a) Найдем точки, где производная равна нулю или не существует:

-2 * ln(x) + 4 * (1/x) = 0
-2 * ln(x) = -4 * (1/x)
-ln(x) = -2/x
ln(x) = 2/x

Мы можем взять экспоненту с обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от логарифма:

x = e^(2/x)

Однако, аналитическое решение этого уравнения нетривиально. Поэтому, мы будем использовать график функции и метод проб и ошибок, чтобы найти значения х.

b) Рассмотрим интервалы возле точек, где производная не существует или равна нулю. Разобьем область на несколько интервалов: (-∞, a), (a, b), (b, +∞), где a и b - найденные нами значения х.

5. Анализируем знак производной на этих интервалах:

a) Интервал (-∞, a):
На этом интервале, производная Y' меньше нуля. Давайте рассмотрим, почему это так. Из уравнения ln(x) = 2/x мы знаем, что функция Y' пересекает ось Ох в точке а. Далее, Y' равна отрицательному значению там, где x меньше а. Таким образом, функция Y убывает на интервале (-∞, a).

b) Интервал (a, b):
На этом интервале, производная Y' больше нуля. Аналогично предыдущему рассуждению, функция Y возрастает на интервале (a, b).

c) Интервал (b, +∞):
На этом интервале также производная Y' больше нуля. Следовательно, функция Y возрастает на интервале (b, +∞).

6. Наконец, мы можем сформулировать окончательный ответ:

Функция Y = ln(x^(-2x + 4)) возрастает на интервалах (a, b) и (b, +∞), и убывает на интервале (-∞, a), где а и b - решения уравнения ln(x) = 2/x.

Однако, еще раз отмечу, что решение уравнения ln(x) = 2/x не может быть найдено аналитически и требует использования графиков и численных методов для приближенного решения.