Y''+2y'+5y=-2sinx
неоднородное дифференциальное уравнение
​

Характеристическое уравнение

к²+2к+5=0

к=-1±2i

у общее однородное =е⁻ˣ*(с₁cos2x+c₂sin2x)

у частное неоднородное= (Аcosx+Вsinx)

y' ч.н.=Вcosx-Аsinx

y'' ч.н.=-Acosx-Bsinx

подставим у, у', y'' в уравнение. получим

-Аcosx-Вsinx+

2*(Вcosx-Аsinx))+

5*(Аcosx+Вsinx)=-2sinx

приравняем коэффициенты при sinx

-2=3А-В

при cosx

-А+2В+5А=0, откуда В=-2А, подставим в первое уравнение

-2=3А+2А, А=-2/5; тогда В=4/5

Уобщ. неоднор. =уо.о.+уч.н.

Уо.н.=е⁻ˣ*(с₁cos2x+c₂sin2x)-(2/5)cosx+(4/5)sinx