Y''+10y'+24y=6e^(-6x)+168x+118 решить высшая . диффуры второго порядка

Ответы

maks7221 03.08.2020 15:00

Y'' + 10y' + 24y = 6e^(-6x) + 168x + 118
Неоднородное уравнение 2 порядка.
y(x) = y0 + y* (решение однородного + частное решение неоднородного).
Решаем однородное уравнение
y'' + 10y' + 24y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 + 10k + 24 = 0
(k + 4)(k + 6) = 0
y0 = C1*e^(-4x) + C2*e^(-6x)
Находим частное решение неоднородного уравнения
-6 - один из корней характеристического уравнения, поэтому
y* = A*x*e^(-6x) + B1*x + B2
y* ' = A*e^(-6x) - 6Ax*e^(-6x) + B1
y* '' = -6A*e^(-6x) - 6A*e^(-6x) + 36A*x*e^(-6x)
Подставляем в уравнение
-6A*e^(-6x) - 6A*e^(-6x) + 36A*x*e^(-6x) + 10A*e^(-6x) - 60Ax*e^(-6x) + 10B1 + 24A*x*e^(-6x) + 24B1*x + 24B2 = 6e^(-6x) + 168x + 118
(-6A - 6A + 36A*x + 10A - 60A*x + 24A*x)*e^(-6x) + 24B1*x + (10B1 + 24B2) =
= 6e^(-6x) + 168x + 118
Приводим подобные в скобке при e^(-6x)
-12A + 10A + 60A*x - 60A*x = -2A
Подставляем
-2A*e^(-6x) + 24B1*x + (10B1 + 24B2) = 6e^(-6x) + 168x + 118
Коэффициенты при одинаковых множителях должны быть равны
{ -2A = 6
{ 24B1 = 168
{ 10B1 + 24B2 = 118
Решаем
{ A = -3
{ B1 = 7
{ 70 + 24B2 = 118; B2 = (118 - 70)/24 = 48/24 = 2
y* = -3x*e^(-6x) + 7x + 2
ответ: y = y0 + y* = C1*e^(-4x) + C2*e^(-6x) - 3x*e^(-6x) + 7x + 2

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Skyflay12367 03.08.2020 15:00

$y''+10y'+24y=6e^{-6x}+168x+118\\\lambda^2+10\lambda+24=0\\\lambda_1=-6,\lambda_2=-4\\Y=C_1e^{-6x}+C_2e^{-4x}\\\hat{y}=Axe^{-6x}+Bx+C\\\hat{y}'=A(e^{-6x}-6xe^{-6x})+B=Ae^{-6x}-6Axe^{-6x}+B\\\hat{y}''=-6Ae^{-6x}-6A(e^{-6x}-6xe^{-6x})=-12Ae^{-6x}+36Axe^{-6x}\\\\-12Ae^{-6x}+36Axe^{-6x}+10Ae^{-6x}-60Axe^{-6x}+10B+24Axe^{-6x}+\\+24Bx+24C=6e^{-6x}+168x+118\\-2Ae^{-6x}+10B+24Bx+24C=6e^{-6x}+168x+118\\e^{-6x}|6=-2A=A=-3\\x^1|168=24B=B=7\\x^0|118=10B+24C=C=2\\\hat{y}=-3xe^{-6x}+7x+2$
$y=Y+\hat{y}=C_1e^{-6x}+C_2e^{-4x}-3xe^{-6x}+7x+2$