(xy^2+(x/(y^2)))dx+(x^2y-(x^2/(y^3)))dy=0

ответ: x²*y²+x²/y²=C.

Пошаговое объяснение:

Запишем равнение в виде P*dx+Q*dy=0, где P=x*y²+x/y² и Q=x²*y-x²/y³. Найдём частные производные dP/dy и dQ/dx: dP/dy=2*x*y-2*x/y³, dQ/dx=2*x*y-2*x/y³. Так как dP/dy=dQ/dx, то левая часть данного уравнения представляет собой полный дифференциал du некоторой функции u(x,y). Отсюда P=du/dx=x*y²+x/y² и тогда u=∫(x*y²+x/y²)*dx=1/2*x²*y²+1/2*x²/y²+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя это выражение по y и приравнивая к Q, приходим к уравнению x²*y-x²/y³+f'(y)=x²*y-x²/y³. Отсюда f'(y)=0 и тогда f(y)=C1, где C1 - произвольная постоянная. И так как du=0, то u=const и поэтому u(x,y)=1/2*x²*y²+1/2*x²/y²+C1=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда, полагая C2-C1=C3, получаем  1/2*x²*y²+1/2*x²/y²=С3, или, полагая 2*С3=С, x²*y²+x²/y²=C.