Выясните, могут ли быть одновременно истинными следующие утверждения: "Учащийся А решил задачу, а учащийся В - нет"; "Хотя бы один из учащихся А, В, и С решил задачу"; "Ни учащийся В, ни учащийся С задачу не решили". *

Давай рассмотрим каждое утверждение по очереди и проверим, могут ли они быть одновременно истинными.

Утверждение 1: "Учащийся А решил задачу, а учащийся В - нет".
Это утверждение говорит, что ученик А решил задачу, а ученик В не решил задачу. Это значит, что вариант, при котором оба ученика решили задачу одновременно, не может быть истинным. Следовательно, утверждение 1 и утверждение 2 не могут быть одновременно истинными.

Утверждение 2: "Хотя бы один из учащихся А, В и С решил задачу".
Это утверждение говорит, что хотя бы один из трех учеников А, В и С решил задачу. Если ученик А решил задачу, то утверждение 1 не может быть истинным, так как говорит, что ученик А не решил задачу. Таким образом, остается только один вариант – либо ученик В, либо ученик С решил задачу. Следовательно, утверждение 2 и утверждение 3 могут быть одновременно истинными.

Утверждение 3: "Ни учащийся В, ни учащийся С задачу не решили".
Это утверждение говорит, что ученики В и С оба не решили задачу. Это значит, что утверждение 1 не может быть истинным, так как говорит, что ученик В не решил задачу. При этом в утверждении 2 говорится, что хотя бы один из учеников А, В и С решил задачу, что противоречит утверждению 3. Таким образом, утверждение 3 не может быть истинным, если утверждения 1 и 2 истинны.

Итак, у нас получается, что утверждения 2 и 3 не могут быть одновременно истинными. Значит, все три утверждения не могут быть одновременно истинными.

Ответ: Утверждения "Учащийся А решил задачу, а учащийся В - нет", "Хотя бы один из учащихся А, В и С решил задачу" и "Ни учащийся В, ни учащийся С задачу не решили" не могут быть одновременно истинными.