Выяснить, является ли поле потенциальным. f(x,y)=(y^3+2xy^2)i+(3xy^2+2x^2y)j
Укажите потенциал поля.

ответ: поле является потенциальным и его потенциал u(x,y)=y³*x+x²*y²+C.

Пошаговое объяснение:

Замечание: в скобках приведены частные производные.

Векторное поле является потенциальным, если его ротор равен нулю. Запишем уравнение поля в виде f(x,y)=P(x,y)*i+Q(x,y)*j. Для того, чтобы ротор был равен нулю, должно выполняться условие (dQ/dx)-(dP/dy)=0. В нашем случае (dQ/dx)=3*y²+4*x*y, (dP/dy)=3*y²+4*x*y. Так как (dQ/dx)=(dP/dy), то поле является потенциальным. Поэтому существует его потенциал u(x,y), который удовлетворяет уравнению du=P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy. А так как du=(du/dx)*dx+(du/dy)*dy, то отсюда следует система уравнений:

(du/dx)=P(x,y)=y³+2*x*y²

(du/dy)=Q(x,y)=3*x*y²+2*x²*y.

Из первого уравнения находим u(x,y)=∫(y³+2*x*y²)*dx=y³*x+x²*y²+Ф(y), где Ф(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя u(x,y) по y, получаем (du/dy)=3*y²*x+2*x²*y+Ф'(y). Из равенства (du/dy)=Q(x,y) находим Ф'(y)=0. Отсюда Ф(y)=C, где C - произвольная постоянная. Таким образом, u(x,y)=y³*x+x²*y²+C.