Высшая МАТЕМАТИКА 1. Заданы вершины треугольника АВС. Вычислите его площадь и косинус внутреннего угла В.
А (-1; 3; 3)
В (2; 2; 1)
С (0; 3; -2)

2. Даны вершины тетраэдра. Найдите длину его высоты, опущенной из вершины D.
А (2; 3; 1)
В (4; 1; -2)
С (6; 3; 7)
D (-5; -4; 8)

приветалалаладаььабкдад

1. Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем использовать формулу Герона. Сначала найдем длины сторон треугольника:

а. Длина стороны AB:
AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
= √[(2 - (-1))² + (2 - 3)² + (1 - 3)²]
= √[3² + (-1)² + (-2)²]
= √[9 + 1 + 4]
= √14

б. Длина стороны BC:
BC = √[(x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² + (z₃ - z₂)²]
= √[(0 - 2)² + (3 - 2)² + (-2 - 1)²]
= √[(-2)² + 1² + (-3)²]
= √[4 + 1 + 9]
= √14

в. Длина стороны AC:
AC = √[(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)² + (z₃ - z₁)²]
= √[(0 - (-1))² + (3 - 3)² + (-2 - 3)²]
= √[1² + 0² + (-5)²]
= √[1 + 0 + 25]
= √26

Теперь, используя формулу Герона, мы можем вычислить площадь треугольника:

p = (AB + BC + AC) / 2
= (√14 + √14 + √26) / 2
≈ 7.281

S = √[p(p - AB)(p - BC)(p - AC)]
= √[7.281(7.281 - √14)(7.281 - √14)(7.281 - √26)]
≈ √[7.281(7.281 - √14)(7.281 - √14)(7.281 - √26)]

Теперь для вычисления косинуса внутреннего угла В мы можем использовать формулу косинуса:

cos(В) = [(AC² + BC² - AB²) / (2 * AC * BC)]
= [(√26² + √14² - √14²) / (2 * √26 * √14)]
= [(26 + 14 - 14) / (2 * √26 * √14)]
= [(26 + 14 - 14) / (2 * √26 * √14)]
= [(26 + 14 - 14) / (2 * √26 * √14)]
≈ 0.661

2. Чтобы найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, мы можем воспользоваться формулой для высоты тетраэдра, связанного с его ребром:

h = (|AD| * √3) / 3
= (|AD| * √3) / 3
= (|AD| * √3) / 3
≈ (|-5 - 2| * √3) / 3
≈ (|-7| * √3) / 3
≈ (7 * √3) / 3
≈ 4.04

Таким образом, длина высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, составляет примерно 4.04 единицы длины.