Высота правильной треугольной пирамиды равна 16 см, а двугранный угол при основании равен 30°. Вычисли объём пирамиды.

Для решения этой задачи нам понадобится формула для вычисления объема пирамиды, которая выглядит следующим образом:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

В данном случае у нас есть высота пирамиды h = 16 см. Теперь нам нужно найти площадь основания S.

Поскольку треугольник - основание пирамиды - правильный, у нас есть информация о двугранном угле при основании, который равняется 30°. Для правильного треугольника известно, что все его углы равны 60°.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для определения отношения сторон правильного треугольника:

sin(60°) = противолежащий катет (высота пирамиды) / гипотенуза (сторона на основании).

Зная, что у нас высота пирамиды h = 16 см, мы можем найти значение противолежащего катета, используя выражение:

sin(60°) = 16 см / гипотенуза.

Изобразим его в формуле для sin:

√3/2 = 16 см / гипотенуза.

Теперь обратно избавимся от гипотенузы:

гипотенуза = 16 см * 2 / √3.

У нас есть гипотенуза, которая является стороной правильного треугольника на основании пирамиды. Исходя из допущения о правильности треугольника, мы знаем, что его площадь можно найти, зная длину его стороны:

S = √3/4 * a^2,

где a - сторона треугольника (гипотенуза).

Теперь мы знаем длину стороны треугольника, поэтому мы можем найти площадь его основания:

S = √3/4 * (16 см * 2 / √3)^2.

Раскроем скобки:

S = √3/4 * (16 см * 2)^2 / (√3)^2.

Упростим:

S = √3/4 * (16 см * 2)^2 / 3.

Рассчитаем:

S = √3/4 * 256 см^2 / 3.

S = √3 * 256 см^2 / 12.

S = 4√3 * 256 см^2 / 12.

S = 4√3 * 64 см^2 / 3.

S = 256√3 см^2 / 3.

Теперь у нас есть площадь основания S = 256√3 см^2 и высота пирамиды h = 16 см.

Подставим эти значения в формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h.

V = (1/3) * 256√3 см^2 * 16 см.

V = (1/3) * 4096√3 см^3.

V = 4096√3 см^3 / 3.

Таким образом, объем пирамиды составляет приблизительно (с точностью до второго знака после запятой) 2360.15 см^3.