1. Математика
  2. Вычислите сумму 1^2-2^2+3^2-+99^2-100^2+101^2

Вычислите сумму 1^2-2^2+3^2-+99^2-100^2+101^2

pandatka4ewa pandatka4ewa    2   04.10.2019 03:10    1

Ответы
TimGoPro TimGoPro  09.10.2020 18:42
Формулы, использованные в ответе:

Формула сокращенного умножения a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Формула суммы арифметической прогрессии S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n

Формула нахождения разности в прогрессии d=a_{n+1}-a_{n}


Сгруппируем слагаемые:

(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+...+(99^2-100^2)+101^2=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+...+\\+(99-100)(99+100)+101^2

Во всех слагаемых (кроме 101^{2}) Первая скобка будет ровна "-1". Следовательно, "-1" можно вынести за скобки. А вторая скобка всегда возрастает на "4". Следовательно это арифметическая прогрессия с первым членом равным трём, и разностью 4.

-1(3+7+11+15+...+199)+101^{2}

Кол-во чисел в прогрессии равно 50 (чисел от 1 до 100-100, а так как у нас они расположены парами, то в два раза меньше-50)

Подставим в формулу суммы значения:

S_{50}=\frac{2*3+4*49}{2}*50=(6+196)*25=5050

Вся скобка ("(3+7+11+15+...+199)" равна 5050.

И тогда всё выражение равно:

-1*5050+101^2=-5050+10201=5151

ответ:  5151.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
void1231 void1231  09.12.2021 19:02
Перед поездкой на иссык-куль общий вес Мерим и Ислама был 92 кг во время отдых верим похудела на 4% Ислам поправился на 5% в результате их общий вес увеличился на...
VladShevshenko228 VladShevshenko228  09.12.2021 19:02
616. Выполните действия: 3 4 9 3) 2 2 . 3 3 -1-:-: 11 8 4 1 ) 8 5 10 4) 2) 7 6 3 2 1 7 5 должны быть все примеры и 2 действия...
Lisonьka124 Lisonьka124  09.12.2021 19:03
Построить эскиз графика непрерывной функции . Условие на фото...
KultchiK KultchiK  09.12.2021 19:03
Мальчики пришли в кафетерий из них шесть заказали борщ четыре голубцы 5 пиццу 2 больше голубцы 2 пиццу и голубцы 2 больше пиццу сколько мальчиков пришло в кафетерий...
parvizmirzoev03 parvizmirzoev03  09.12.2021 19:03
Точки A, B, C, D расположены на координатной прямой после- довательно. Даны Координаты точек C и D. Найти координаты точки A, B если | AB = 2 | BC, BC = 2|cD B....
saha202000 saha202000  09.12.2021 19:04
Виконайте, позначене жовтим, будь ласка....
Тимур2020 Тимур2020  09.12.2021 19:04
Можно сделать фото листка где будут примеры мне...
linayaryshkina linayaryshkina  09.12.2021 19:04
Решение двух примеров по интегралам с объяснением....
magakhass magakhass  09.12.2021 19:04
3. Вычислите, сколько денег осталось у Шамиля после оплаты, Чому чол. мате 1) У Шамиля было 10 манатов. Он вышел 1. ИО СИ с другом на прогулку и пообедал в кафе....
lenova32 lenova32  09.12.2021 19:04
Можно ли составить прорции из следующих чисел 1) 26, 39, 2)8, 16 ,19, 36, 3)8,14,4,7,...

Популярные вопросы