Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями (схематично
изобразив графики функций).
1) y = 6 + x – x2 и y = 6 – 2x;
2) y = 2x2 и y = x + 1 ;
3) y = 1 – x и y = 3 – 2x – x2 ;
4) y = x2 и y = X .
ответ : 1) 4,5 ; 2) 9/8 ; 3) 4,5 ; 4) 1/3

Добрый день! Давайте разберем по очереди каждую задачу и найдем площадь фигуры, ограниченной заданными функциями.

1) Найдем точку пересечения двух функций y = 6 + x – x^2 и y = 6 – 2x. Для этого приравняем эти две функции между собой и решим полученное уравнение:

6 + x – x^2 = 6 – 2x

Перенесем все члены уравнения в одну часть:

x^2 + 3x - 2x = 0

x^2 + x = 0

x(x + 1) = 0

Таким образом, получаем два решения: x = 0 и x = -1.

Теперь построим графики этих функций, чтобы определить, какая из них является верхней и нижней.

График функции y = 6 + x – x^2 представляет собой параболу, направленную вниз. Построим ее.

Для этого запишем уравнение в виде y = -(x^2 - x - 6):

y = -(x + 2)(x - 3)


Таким образом, функция y = 6 + x – x^2 пересекает ось ординат в точке (0, 6). График проходит выше оси ординат, так как его вершина находится выше нулевого значения y.

Теперь построим график функции y = 6 – 2x:

y = 6 – 2x представляет собой прямую с отрицательным коэффициентом при x. Построим ее.

Таким образом, функция y = 6 - 2x пересекает ось ординат в точке (0, 6) и имеет отрицательный наклон.

Из графиков видно, что границы фигуры находятся в точках пересечения графиков этих двух функций, то есть при x = 0 и x = -1.

Теперь найдем значения y для каждой из функций в этих точках:

Для y = 6 + x – x^2 при x = 0:
y = 6 + 0 - 0^2 = 6

Для y = 6 - 2x при x = 0:
y = 6 - 2*0 = 6

Для y = 6 + x – x^2 при x = -1:
y = 6 + (-1) - (-1)^2 = 6 - 1 - 1 = 4

Для y = 6 - 2x при x = -1:
y = 6 - 2*(-1) = 6 + 2 = 8

Итак, у нас есть четыре точки: (0, 6), (0, 6), (-1, 4) и (-1, 8).

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими точками.

Находим длину оси абсцисс между точками x = 0 и x = -1:
x1 - x2 = 0 - (-1) = 1

Площадь под фигурой равна основанию, умноженному на высоту:
Площадь = (x1 - x2) * (y1 - y2)

Применяем эти значения:
Площадь = (1) * (8 - 4)

Получаем: Площадь = 1 * 4 = 4

Ответ для первой задачи: 4.

2) Найдем точку пересечения двух функций y = 2x^2 и y = x + 1. Для этого приравняем их между собой:

2x^2 = x + 1

Приравняем уравнение к нулю:

2x^2 - x - 1 = 0

Данное уравнение является квадратным уравнением. Осуществим решение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
D = (-1)^2 - 4*2*(-1)
D = 1 + 8
D = 9

Как мы видим, дискриминант D = 9 является положительным числом, что значит, что уравнение имеет два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a)
x1 = (-(-1) + √9) / (2*2)
x1 = (1 + 3) / 4
x1 = 4/4
x1 = 1

x2 = (-b - √D) / (2a)
x2 = (-(-1) - √9) / (2*2)
x2 = (1 - 3) / 4
x2 = -2/4
x2 = -1/2

Таким образом, получаем два решения: x1 = 1 и x2 = -1/2.

Теперь построим графики этих функций, чтобы определить, какая из них является верхней и нижней.

График функции y = 2x^2 представляет собой параболу, направленную вверх. Построим ее.

Таким образом, функция y = 2x^2 пересекает ось ординат в точке (0, 0) и имеет положительный наклон.

Теперь построим график функции y = x + 1:

Таким образом, функция y = x + 1 пересекает ось ординат в точке (0, 1) и имеет положительный наклон.

Из графиков видно, что границы фигуры находятся в точках пересечения графиков этих двух функций, то есть при x = 1 и x = -1/2.

Теперь найдем значения y для каждой из функций в этих точках:

Для y = 2x^2 при x = 1:
y = 2*1^2 = 2*1 = 2

Для y = x + 1 при x = 1:
y = 1 + 1 = 2

Для y = 2x^2 при x = -1/2:
y = 2*(-1/2)^2 = 2*(1/4) = 1/2

Для y = x + 1 при x = -1/2:
y = -1/2 + 1 = 1/2

Итак, у нас есть четыре точки: (1, 2), (1, 2), (-1/2, 1/2) и (-1/2, 1/2).

Находим длину оси абсцисс между точками x = 1 и x = -1/2:
x1 - x2 = 1 - (-1/2) = 1 + 1/2 = 3/2

Площадь под фигурой равна основанию, умноженному на высоту:
Площадь = (x1 - x2) * (y1 - y2)

Применяем эти значения:
Площадь = (3/2) * (2 - 1/2)

Переводим дробь в общий знаменатель:
Площадь = (3/2) * (4/2 - 1/2)

Вычитаем дроби:
Площадь = (3/2) * (3/2)

Домножаем числитель и знаменатель первой дроби на 3:
Площадь = (9/6) * (3/2)

Упрощаем дробь:
Площадь = 27/12

Разложим полученную дробь на произведение двух сократимых дробей:
Площадь = (3/4) * (9/3)

Умножаем числители и знаменатели:
Площадь = 27/12

Упрощаем полученную дробь:
Площадь = 9/4

Ответ для второй задачи: 9/4.

(Продолжение в следующем ответе)