Вычислите 11sin⁡6α/cos⁡3α, если sin3α=-0,2

Пошаговое объяснение

А есть пример как решать?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово и детально.

1. У нас имеется выражение 11sin⁡6α/cos⁡3α, а нам дано значение sin3α=-0,2. Давайте начнем с вычисления cos3α.

2. Мы знаем, что синус и косинус дополняют друг друга: sin^2θ + cos^2θ = 1. Мы можем использовать это соотношение, чтобы найти cos3α.

sin^2(3α) + cos^2(3α) = 1

Поскольку sin^2(3α) = (-0,2)^2 и известно, что sin^2θ + cos^2θ = 1, мы можем найти cos^2(3α):

(-0,2)^2 + cos^2(3α) = 1

0,04 + cos^2(3α) = 1

cos^2(3α) = 1 - 0,04

cos^2(3α) = 0,96

cos(3α) = ±√0,96

Теперь давайте найдем значение cos(3α). Поскольку cos(3α) зависит от угла 3α, нам также нужно узнать, в какой четверти находится угол 3α.

3. Мы знаем, что sin3α=-0,2, что говорит нам о знаке значения sin(3α). Поскольку sin3α = -0,2, и синус обратно пропорционален Tangent (tg) угла, который находится в отрицательной половине круга (т.е. когда x < 0), мы можем сделать вывод, что угол 3α находится в четвертой четверти.

Таким образом, cos(3α) также должен быть отрицательным, поскольку cos > 0 при x < 0 и cos < 0 при x > 0 в четвертой четверти.

Исходя из этого, мы можем записать следующее:

cos(3α) = -√0,96, так как cos(3α) должен быть отрицательным

4. Теперь, когда у нас есть значение cos(3α), мы можем использовать его, чтобы найти выражение 11sin⁡6α/cos⁡3α:

11sin⁡6α/cos⁡3α = 11sin⁡6α / (-√0,96)

Чтобы продолжить, нам нужно знать, что sinα/cosβ = tg(α - β). Поэтому мы можем записать:

11sin⁡6α / (-√0,96) = 11tg(6α - 3α)

Зная, что cos^2θ + sin^2θ = 1 и tgθ = sinθ/cosθ, мы можем найти tg(6α - 3α):

tg(6α - 3α) = sin(6α - 3α) / cos(6α - 3α)

sin(6α - 3α) = sin(3α)cos(6α) - cos(3α)sin(6α)

Подставим значения sin(3α)=-0,2 и cos(3α)=-√0,96:

sin(6α - 3α) = (-0,2)cos(6α) - (-√0,96)sin(6α)

Зная, что sin2θ = 2sinθcosθ, мы можем преобразовать этот результат:

sin(6α - 3α) = (-0,2)cos(6α) - (-√0,96)sin(6α)

sin(6α - 3α) = (-0,2)cos(6α) + (√0,96)sin(6α)

Теперь у нас есть sin(6α - 3α). Мы можем заменить это значение в нашем изначальном уравнении:

11sin⁡6α / (-√0,96) = 11(-0,2)cos(6α) + 11(√0,96)sin(6α) / (-√0,96)

Упростим это выражение:

11sin⁡6α / (-√0,96) = -2,2cos(6α) - 11sin(6α)

Вот и все! Мы рассчитали значение 11sin⁡6α/cos⁡3α, используя данное значение sin3α=-0,2 и подробно пошагово объяснили каждый шаг.