Вычислить значение производной сложной функции u=x^2*e^y, где x=cost, y=sint, при t=pi

Для начала давайте разберемся, что такое производная сложной функции. Пусть у нас есть функция u(x) и y(x)=f(g(x)), где f(x) и g(x) - некоторые функции. Тогда производная сложной функции, обозначаемая как dy/dx или y'(x), вычисляется по формуле:

dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)

Теперь, давайте вместо x подставим значение t=pi в функции x=cost и y=sint.

x(t) = cos(pi) = -1
y(t) = sin(pi) = 0

Таким образом, у нас получается новая функция u(t) = (-1)^2 * e^0 = 1 * 1 = 1.

Теперь, давайте посмотрим, как вычислить значение производной этой функции.

Для этого нам понадобятся производные функций x(t) и y(t).

dx/dt = -sin(t)
dy/dt = cos(t)

Теперь, давайте найдем f'(g(t)) и g'(t).

f(u) = u^2
f'(u) = 2u

g(t) = y(t) = sint
g'(t) = cos(t)

Теперь, мы можем применить формулу производной сложной функции:

du/dt = f'(g(t)) * g'(t)

Подставляем наши значения и вычисляем:

du/dt = 2 * 0 * cos(t) = 0

Таким образом, мы получаем значение производной сложной функции u(x) при t=pi равным 0.