Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями: 1) y=x^2+2x+2, y=-4x-7, x=0

2) y= -x^2-6x-5, y=-x-2

Привет! Давай рассмотрим по порядку каждую фигуру и найдем площадь.

1) Для начала, мы видим, что у нас есть два уравнения кривых линий и одно уравнение для вертикальной линии.

y = x^2 + 2x + 2 - это уравнение параболы, которое описывает первую линию.
y = -4x - 7 - это уравнение прямой линии, которое описывает вторую линию.
x = 0 - это уравнение вертикальной линии, которое говорит нам, что граница фигуры проходит через точку (0, y).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно определить точки их пересечения.

Для начала, найдем точку пересечения прямой и параболы. Для этого приравняем уравнения:

x^2 + 2x + 2 = -4x - 7

Сократим это уравнение:

x^2 + 6x + 9 = 0

Так как это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения. Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = 6 и c = 9. Подставим эти значения в формулу:

D = 6^2 - 4 * 1 * 9
= 36 - 36
= 0

Поскольку дискриминант равен нулю, мы имеем один корень уравнения. Найдем его:

x = -6 / (2 * 1)
= -6 / 2
= -3

Теперь, чтобы найти y-координату этой точки, подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

y = (-3)^2 + 2(-3) + 2
= 9 - 6 + 2
= 5

Итак, точка пересечения прямой и параболы - это (-3, 5).

Теперь найдем точку пересечения прямой и вертикальной линии. Уравнение прямой - y = -4x - 7. Подставим x = 0:

y = -4(0) - 7
= -7

Таким образом, точка пересечения прямой и вертикальной линии - это (0, -7).

Теперь мы можем построить фигуру, ограниченную этими линиями:

```
*
|
--------------|--------------
* |
|
```

(0, -7) - это точка на оси y, которая является нижним пределом фигуры.

(-3, 5) - это точка на оси x, которая описывает параболу и является верхним пределом фигуры.

Теперь мы можем найти площадь этой фигуры. Фигура - это треугольник, поэтому площадь треугольника равна (база * высота) / 2.

База треугольника - это расстояние между точками (0, -7) и (-3, 5). Это расстояние по оси x, поэтому:

база = -3 - 0
= -3

Высота треугольника - это расстояние от верхней точки параболы до нижней точки фигуры (-7). Это расстояние по оси y, поэтому:

высота = 5 - (-7)
= 5 + 7
= 12

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

площадь = (база * высота) / 2
= (-3 * 12) / 2
= -36 / 2
= -18

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+2x+2, y=-4x-7 и x=0, равна -18.

2) Теперь рассмотрим вторую фигуру. У нас есть два уравнения линий:

y = -x^2 - 6x - 5 - это уравнение параболы.
y = -x - 2 - это уравнение прямой линии.

На этот раз у нас нет вертикальной линии, поэтому нас интересует площадь между этими двумя кривыми.

Для начала, найдем точку пересечения прямой и параболы. Приравняем уравнения:

-x^2 - 6x - 5 = -x - 2

Приведем это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

x^2 + 5x - 3 = 0

Теперь воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения. Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = 5 и c = -3. Подставим эти значения в формулу:

D = 5^2 - 4 * 1 * (-3)
= 25 + 12
= 37

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два различных корня уравнения. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Найдем сначала первый корень:

x1 = (-5 + √37) / (2 * 1)
≈ (-5 + 6.082) / 2
≈ 0.541

Теперь найдем второй корень:

x2 = (-5 - √37) / (2 * 1)
≈ (-5 - 6.082) / 2
≈ -5.541

Округлим эти значения до двух знаков после запятой.

Теперь нужно найти соответствующие y-координаты точек пересечения. Для этого подставим найденные значения x в одно из исходных уравнений. Возьмем, например, первое уравнение:

y1 = -(0.541)^2 - 6(0.541) - 5
≈ -0.293

Точка пересечения прямой и параболы - это (0.541, -0.293).

Аналогично, найдем y2 для второй точки пересечения:

y2 = -(-5.541)^2 - 6(-5.541) - 5
≈ -14.207

Точка пересечения прямой и параболы - это (-5.541, -14.207).

Строим фигуру, ограниченную этими линиями:

```
*
|
-------------------|-------------------
|
```

(0.541, -0.293) - это точка на оси y, которая является нижним пределом фигуры.

(-5.541, -14.207) - это точка на оси x, которая описывает параболу и является верхним пределом фигуры.

Теперь мы можем рассчитать площадь этой фигуры, которая, как и в первом случае, является треугольником.

База треугольника - это расстояние между точками (0.541, -0.293) и (-5.541, -14.207). Это расстояние по оси x, поэтому:

база = -5.541 - 0.541
= -6.082

Высота треугольника - это расстояние от верхней точки параболы до нижней точки фигуры (-0.293). Это расстояние по оси y, поэтому:

высота = -14.207 - (-0.293)
= -14.207 + 0.293
= -13.914

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

площадь = (база * высота) / 2
= (-6.082 * -13.914) / 2
= 84.649

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 - 6x - 5 и y = -x - 2, равна 84.649.

Надеюсь, я понятно объяснил, как найти площади этих фигур. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!