Вычислить площадь треугольника с вершинами а (1.1.1); b (2.3.4); c (4.3.2).​

Решение
Найдём координаты любых двух векторов, основанных на данных трёх точках. Пусть это будут векторы АВ и АС.
АВ = ( 2-1; 3-1; 4-1) = (1; 2; 3)
АС = (4-1; 3-1; 2-1) = (3; 2; 1)
Т.к модуль векторного произведения |АВ*АС| равен площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, то площадь треугольника в 2 раза меньше.
S=1/2 |AB*AC|
Вычислим векторное произведение векторов АВ и АС
a*b= (2*1-2*3; 3*3-1*1; 1*2-3*2) = (-4; 8 -4)
AB*AC=(-4;8;-4)
Вычислим модуль векторного произведения:
|AB*AC|= sqrt ( (-4)^2 +8^2 + (-4)^2) ) = 4 sqrt (6)
Найденный модуль векторного произведения подставим в формулу и найдём площадь треугольника
1/2*4 sqrt 6 = 2 sqrt 6
ответ : 2 корень из 6. Под букой Б.
Пояснение : sqrt - квадратный корень

вычислить площадь треугольника с вершинами A(1;1;1) ; B(2;3;4) ;  C(4;3;2).​

ответ:  Б   2√6

Пошаговое объяснение: Пусть ∠(AB,AC)=φ; S =(1/2)*|AB| *|AC|*sinφ

Векторы AB (1 ;2 ;3)  ; AC (3;2;1)    |AB| = |AC| = √(1²+2² +3²) =√14

* * *   AB ,AC векторы , ΔABC_равнобедренный    * * *

Скалярное произведение векторов AB и AC

AB*AC = |AB|*|AC|*cosφ =√14*√14*cos(AB^AC)=14*cosφ ,

с другой стороны  AB*AC= 1*3+2*2 +3*1 =10 , следовательно :

14*cosφ = 10   ⇒  cosφ =5/ 7  ;  

sinφ =√(1- cos²φ)=√(1- (5/7)²)=√(1- 25/49)=√(24/49)9- 25)/49)=2(√6)/ 7.

S =(1/2)*|AB| *|AC|*sinφ =(1/2)*√14*√14 * 2(√6) / 7 = 2√6    →  Б

* * * Примитивно:  Определить площадь треугольника с известными сторонами. [В общем случае по формуле Герона, но здесь решение упрощается  т.к. Δ  равнобедренный  AB =AC=√14 (бок.стороны) и BC=2√2(основание)] * * *

BC(2; 0;-2); |BC| =√((2²+0²+(-2)²) =2√2, h=√( AB²-(BC/2)²) =√ (14 -2) =2√3

S =(1/2)*BC*h =(1/2)*2√2*2√3=2√6.