Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x – 4)2, y = 16 – x2 и осью Ох.

Хорошо, давай разберемся вместе!

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими тремя линиями, нам необходимо найти точки их пересечения. Потом мы можем использовать подходящий метод для вычисления площади.

Давай начнем с того, что найдем точки пересечения каждой пары линий.

1. Найдем точки пересечения линии y = (x – 4)2 и оси Ох.
Когда линия пересекает ось Ох, y = 0. Подставим это значение в уравнение:
0 = (x – 4)2
Теперь найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
√0 = x – 4
0 = x – 4
x = 4

Таким образом, точка пересечения линии y = (x – 4)2 и оси Ох - это точка (4, 0).

2. Теперь найдем точки пересечения линии y = (x – 4)2 и линии y = 16 – x2.
Equate the two equations:
(x - 4)^2 = 16 - x^2

Далее, упростим уравнение и приведем его к квадратному виду:

x^2 - 8x + 16 = 16 - x^2
2x^2 - 8x = 0
2x(x - 4) = 0
2x = 0, x - 4 = 0

Таким образом, x = 0 и x = 4. Подставим эти значения в любое из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y:

Когда x = 0:
y = (0 - 4)^2
y = 16

Когда x = 4:
y = (4 - 4)^2
y = 0

Таким образом, точки пересечения линии y = (x – 4)2 и линии y = 16 – x2 - это точки (0, 16) и (4, 0).

Теперь у нас есть все точки пересечения. Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно разделить фигуру на две части: треугольник и параболу.

1. Вычислим площадь треугольника.
База треугольника - это расстояние между точками (4, 0) и (0, 16), что равно 4 - 0 = 4.
Высота треугольника - это расстояние между прямой y = (x – 4)^2 и осью Ох.
Чтобы найти высоту, нам нужно найти x-координату точки (4, 0) на линии y = (x – 4)^2.
Подставим x = 4 в уравнение:
y = (4 - 4)^2
y = 0
Таким образом, высота треугольника равна 0.

Теперь, чтобы вычислить площадь треугольника, мы используем формулу:
Площадь треугольника = (база * высота) / 2
Подставляем значения:
Площадь треугольника = (4 * 0) / 2
Площадь треугольника = 0

2. Теперь найдем площадь параболы.
Формула для нахождения площади параболы симметричной относительно оси Ох:
Площадь параболы = ∫(от x = a до x = b) f(x) dx

В нашем случае, f(x) = (x – 4)^2, а a и b - значения x точек пересечения с осью Ох, то есть 0 и 4.

Подставим это в формулу:
Площадь параболы = ∫(от x = 0 до x = 4) (x – 4)^2 dx

Чтобы решить этот интеграл, распишем (x - 4)^2 как x^2 - 8x + 16:

Площадь параболы = ∫(от x = 0 до x = 4) (x^2 - 8x + 16) dx

Теперь продолжим интегрирование:
Площадь параболы = [x^3/3 - 4x^2 + 16x] (от x = 0 до x = 4)

Подставим значения:
Площадь параболы = [(4^3/3 - 4*4^2 + 16*4) - (0^3/3 - 4*0^2 + 16*0)]

Выполняем вычисления:
Площадь параболы = [(64/3 - 64 + 64) - (0 - 0 + 0)]
Площадь параболы = [(64/3)]
Площадь параболы ≈ 21.33

Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x – 4)2, y = 16 – x2 и осью Ох, нужно сложить площадь треугольника и площадь параболы:
Общая площадь = площадь треугольника + площадь параболы
Общая площадь = 0 + 21.33
Общая площадь ≈ 21.33

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x – 4)2, y = 16 – x2 и осью Ох, составляет приблизительно 21.33 квадратных единиц.