Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3; у = 1; х = 2.

Координаты т.А
x³=1
x=1
A(1;1)
Искомая площадь равна разности площадей криволинейной трапеции и прямоугольника

Хорошо, давай-те разберем задачу и найдем площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Дано у = х^3, у = 1 и х = 2. Для решения этой задачи, нам необходимо сначала понять, как выглядит график каждой из этих функций на координационной плоскости.

1. Функция у = х^3:
Чтобы построить график этой функции, мы можем использовать значения х и находить соответствующие значения у, затем указывать эти точки на осях координат и соединять их.

Например, если мы возьмем некоторые значения для х, такие как -2, -1, 0, 1 и 2, и найдем соответствующие значения у, то получим следующие точки:
(-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).

Теперь мы можем построить график, соединив эти точки. График функции у = х^3 выглядит как парабола, проходящая через начало координат и расположенная вверху слева от него.

2. Функция у = 1:
График этой функции будет просто горизонтальной линией параллельной оси у на высоте у = 1.

3. Линия х = 2:
Это вертикальная линия, проходящая через точку со значением х равным 2 и пересекающая ось у.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно найти площади двух треугольников и площадь прямоугольника.

Первый треугольник находится между графиком функции у = 1 и осью х на участке от -2 до 2. Угол у оси х для этого треугольника постоянен и равен 1 (так как функция y=1). Таким образом, площадь этого первого треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2

В данном случае основание треугольника - это расстояние между точками (-2, 1) и (2, 1) на оси х, которое составляет 4 единицы. Высота треугольника - это сама функция y=1, и она равна 1. Подставив эти значения в формулу, мы получим:

Площадь первого треугольника = (4 * 1) / 2 = 2.

Второй треугольник находится между графиком функции y=x^3 и линией x=2 на участке от 0 до 2. Здесь угол у оси x будет меняться в зависимости от значения функции y=x^3. Исходя из этого, площадь этого второго треугольника можно найти, интегрировав функцию y=x^3 на участке от 0 до 2. Я покажу это пошагово ниже:

1. Найдем первообразную от функции y=x^3, это будет y=(1/4)x^4.
2. Теперь вычислим значение первообразной функции в точках х=2 и х=0:
y2=(1/4)(2^4) = 4 и y0=(1/4)(0^4) = 0.
3. Вычтем значения первообразной функции в точках х=0 и х=2:
площадь = y2 - y0 = 4 - 0 = 4.

Таким образом, площадь второго треугольника равна 4.

Найдем теперь площадь прямоугольника. Этот прямоугольник ограничен осью у и линией х=2, значит, его ширина равна 1 (так как функция y=1 идет от -∞ до +∞) и его высота равна 2 (так как ось y=1 расположена на высоте y=2). Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу:

Площадь прямоугольника = ширина * высота = 1 * 2 = 2.

Наконец, чтобы найти общую площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^3, у=1 и х=2, нужно сложить площади треугольников и прямоугольника:

Общая площадь = площадь треугольника 1 + площадь треугольника 2 + площадь прямоугольника
= 2 + 4 + 2
= 8.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=х^3, y=1 и x=2, равна 8.