Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями(при определённого интеграла) y=x^2-6, y=-x^2+5*x-6

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y₁=x+2 , y₂=2x - (x^2/2) + 6

или y = -0,5х² + 2x + 6 и y=x+2

для выявления пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков этих двух функций, приравняв их правые части

-0,5х² + 2x + 6 = x + 2

-0,5х² + x + 4 = 0

или

-х² + 2х + 8 = 0

D = 4 + 32 = 36

√D = 6

x₁ = (-2 + 6):(-2) = -2

x₂ = (-2 - 6):(-2) = 4

Итак, интегрируем в пределах: -2 и 4.

Теперь надо решить, какая из функций проходит выше другой

найдём вершину параболы f(x) = -0.5х² + 2х + 6

m = -2:(-1)  = 2;   n = -2+ 4 + 6 = 8

в точке х = 2 прямая y=x+2 имеет у =4, а кривая y = -0.5х² + 2х + 6 имеет у = 8

в точке x₁ = -2  и в точке x₂ = 4 значения обеих функций совпадают.

Очевидно, что парабола в интервале от -2 до 4 проходит выше.

Находим интеграл

∫(у₂ - у₁)dx = ∫(-0.5х² + 2х + 6 - (x+2))dx =

= ∫(-0.5х² + х + 4)dx =

= -х³/6 + х²/2 + 4x

Подставим пределы и вычислим площадь

S = 8/6 + 4/2 - 4·2 - (-64/6 + 16/2 + 4·4) =

= 4/3 + 2 - 8 + 32/3 - 8 + 16 = 14

ответ: S = 14