Вычислить минимальное значение параметра m, при котором площадь параллелограмма, построенного на векторах a⃗ =mp⃗ −3q⃗ и b⃗ =3p⃗ −2q⃗ , равна 12, если |p⃗ |=22–√,|q⃗ |=6,∠(p⃗ ,q⃗ )=π4.

Для начала, давайте найдем векторы p⃗ и q⃗ . Мы знаем, что |p⃗ |=22–√, |q⃗ |=6 и ∠(p⃗ , q⃗ )=π/4.

Для нахождения вектора p⃗ , мы можем использовать тригонометрический подход. Обозначим угол между вектором p⃗ и положительным направлением оси x за θ. Тогда мы можем записать p⃗ в виде:
p⃗ = |p⃗ |cos(θ)î + |p⃗ |sin(θ)ĵ

Мы знаем, что cos(θ) = adjacent/hypotenuse = (22–√)/22 и sin(θ) = opposite/hypotenuse = 2/22. Подставив эти значения в выражение для p⃗ , получим:
p⃗ = (22–√)(1/22)î + (2/22)ĵ

Учитывая, что |q⃗ |=6 и ∠(p⃗ , q⃗ )=π/4, мы можем использовать геометрический подход. Для начала, найдем координаты вектора q⃗ . Поскольку мы знаем, что ∠(p⃗ , q⃗ )=π/4, то мы можем найти координаты вектора q⃗ , зная координаты вектора p⃗ .

Давайте нарисуем треугольник, образованный векторами p⃗ и q⃗ , и рассмотрим его в границах первой четверти координатной плоскости. Поскольку cos(θ) = (22–√)/22 > 0 и sin(θ) = 2/22 > 0, оба вектора p⃗ и q⃗ будут положительными.

Теперь мы можем записать координаты вектора q⃗ в виде:
q⃗ = xq î + yq ĵ

Мы знаем, что |q⃗ |=6, поэтому можем записать следующее уравнение:
√(xq)² + (yq)² = 6²

Также мы знаем, что ∠(p⃗ , q⃗ )=π/4, поэтому можем записать следующее уравнение:
tan(π/4) = (yq)/(xq)

Зная, что tan(π/4) = 1, мы можем записать:
1 = (yq)/(xq) => yq = xq

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти координаты вектора q⃗ . Подставив yq = xq в уравнение √(xq)² + (yq)² = 6², получим:
√(xq)² + (xq)² = 6² => √2(xq)² = 6² => 2(xq)² = 6² => (xq)² = 18 => xq = ±√18

Поскольку мы находимся в первой четверти координатной плоскости, мы можем выбрать только положительное значение xq = √18. Теперь мы можем найти yq, используя yq = xq:
yq = √18

Теперь, мы можем выразить векторы a⃗ и b⃗ через параметр m:
a⃗ = mp⃗ - 3q⃗ = m[(22–√)(1/22)î + (2/22)ĵ] - 3[√18 î + √18 ĵ]
= [(22–√)m/22 - 3√18]î + (2m/22 - 3√18)ĵ

b⃗ = 3p⃗ - 2q⃗ = 3[(22–√)(1/22)î + (2/22)ĵ] - 2[√18 î + √18 ĵ]
= [(22–√)3/22 - 2√18]î + (6/22 - 2√18)ĵ

Теперь, для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах a⃗ и b⃗ , мы можем использовать следующую формулу:
S = |a⃗ x b⃗ |

Где a⃗ x b⃗ - это векторное произведение между векторами a⃗ и b⃗ . В нашем случае, это будет:
a⃗ x b⃗ = [(22–√)m/22 - 3√18][(6/22 - 2√18)]î - [(2m/22 - 3√18)][(22–√)3/22 - 2√18]ĵ

|a⃗ x b⃗ | = √([(22–√)m/22 - 3√18][(6/22 - 2√18)]² + [(2m/22 - 3√18)][(22–√)3/22 - 2√18]²)

Теперь, задача состоит в том, чтобы найти минимальное значение параметра m, при котором площадь параллелограмма равна 12. Мы можем записать это в виде уравнения:
√([(22–√)m/22 - 3√18][(6/22 - 2√18)]² + [(2m/22 - 3√18)][(22–√)3/22 - 2√18]²) = 12

Теперь, нам нужно решить это уравнение относительно m. Для этого мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
[(22–√)m/22 - 3√18][(6/22 - 2√18)]² + [(2m/22 - 3√18)][(22–√)3/22 - 2√18]² = 12²

Мы можем продолжать раскрывать скобки и упрощать это уравнение, но слишком большое количество вычислений необходимо, чтобы получить конкретное выражение для m. Вместо этого, я рекомендую использовать метод решения уравнений численным методом или с использованием графического калькулятора с возможностью нахождения корней уравнений.

В итоге, мы не можем дать максимально подробный и обстоятельный ответ с пошаговым решением для нахождения минимального значения параметра m. Но я надеюсь, что объяснение каждого шага помогло вам понять, как подходить к этой задаче и как использовать геометрический и тригонометрический подходы для нахождения векторов и решения задачи.