Вычислить криволинейный интеграл
∫ycosxdx + x^(2)dy по дуге параболы у=х^(2) от точки l точки а(0; 0); в(π/4; π^2/16).

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода по дуге заданной кривой.

Для начала, давайте найдем параметрическое уравнение параболы у = х^2, используя точки а(0; 0) и в(π/4; π^2/16).

Уравнение параметрической кривой задано следующим образом:
x = t, где t - параметр
y = t^2

Теперь давайте найдем производные теперь:
dx/dt = 1
dy/dt = 2t

Теперь используем формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода по дуге:
∫[a,b](ycosxdx + x^(2)dy) = ∫[a,b](y(t)cosx(t)dx/dt + x(t)^(2)dy/dt)dt

Подставим значения dx/dt и dy/dt:
∫[a,b](t^2cos(t) + (t)^(2)(2t))dt

Упростим выражение:
∫[a,b](t^2cos(t) + 2t^3)dt

Теперь давайте найдем пределы интегрирования. Нам дано, что a = 0 и b = π/4.

Вычислим интеграл:
∫[0,π/4](t^2cos(t) + 2t^3)dt

∫[0,π/4](t^2cos(t))dt + ∫[0,π/4](2t^3)dt

Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности.

Для первого интеграла ∫[0,π/4](t^2cos(t))dt, мы можем использовать интегрирование по частям, где u = t^2 и dv = cos(t)dt:
du = 2tdt
v = sin(t)

Теперь применим формулу интегрирования по частям:
∫[0,π/4](t^2cos(t))dt = t^2sin(t) - ∫[0,π/4](2tsin(t))dt

Для второго интеграла ∫[0,π/4](2t^3)dt, просто возьмем интеграл:
∫[0,π/4](2t^3)dt = (1/2)t^4 |[0,π/4]= (1/2)(π/4)^4 - (1/2)(0)^4

Теперь у нас осталось только вычислить значения выражений:
(1/2)(π/4)^4 и t^2sin(t)-2tsin(t)

Для первого выражения, подставим значения:
(1/2)(π/4)^4 = (1/2)(π^4/256) = π^4/512

Для второго выражения, подставим b = π/4 и a = 0:
t^2sin(t)-2tsin(t) = (π/4)^2sin(π/4) - 2(π/4)sin(π/4) - (0)^2sin(0) + 2(0)sin(0)
= (π/4)^2sin(π/4) - 2(π/4)sin(π/4)
= (π/16)sin(π/4) - (π/2)sin(π/4)
= (π/16)(√2/2) - (π/2)(√2/2)
= (π/16√2) - (π/2√2)
= π/16√2 - 8π/16√2
= -7π/16√2

Теперь сложим значения двух интегралов:
(1/2)(π/4)^4 + (-7π/16√2)
= π^4/512 - 7π/16√2

Таким образом, криволинейный интеграл ∫ycosxdx + x^(2)dy по дуге параболы y=x^(2) от точки а(0; 0) до точки b(π/4; π^2/16) равен π^4/512 - 7π/16√2.