Вычислить длину дуги кривой при интеграла

 \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1

илона2707 илона2707    1   16.08.2019 17:14    1

Ответы
LanaAnn LanaAnn  08.09.2020 17:51

Пусть a,\:b 0 Тогда x,\:y 0. Также, т.к. корень - число неотрицательное, то \sqrt{\dfrac{x}{a}}\leq 1\to x\leq a\\ \sqrt{\dfrac{y}{b}}\leq 1\to y\leq b.

Теперь заменим a на противоположное число -a. Заметим, что теперь -a\leq x\leq 0 и каждому значению функции, соответствующее каждому значению аргумента, соответствует противоположный аргумент. Проведя аналогичные действия для  b, заметим, что изменение знака параметров на противоположные лишь отображает график относительно координатных осей, но не меняют длину кривой. Тогда достаточно найти длину кривой для положительных  a, b , а затем в получившейся формуле заменить a на  |a| , b на |b|.

Теперь запишем параметрическое задание функции.

Пусть x=asin^4t. Тогда sin^2t+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=sin^2t+cos^2t\to y=bcos^4t, t\in[0;\dfrac{\pi}{2}].

x'_t=4asin^3tcost\\ y'_t=-4bcos^3tsint

Вычисление длины кривой на фото 1 и 2. На 3 фото вычисление вс интеграла.

Теперь остается лишь подставить модули параметров. Получаем L=\dfrac{a^2b^2}{(\sqrt{a^2+b^2})^3}ln|\dfrac{|a|+|b|+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|+|b|-\sqrt{a^2+b^2}}|+\dfrac{|a|^3+|b|^3}{a^2+b^2}


Вычислить длину дуги кривой при интеграла [tex] \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1[/tex
Вычислить длину дуги кривой при интеграла [tex] \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1[/tex
Вычислить длину дуги кривой при интеграла [tex] \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1[/tex
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика