Вычисли сумму всех чисел, которые получаются всевозможными перестановками цифр в числе 235235.

8913300

Пошаговое объяснение:

число 235235.

Замечание: вот если бы это число состояло из 6 различных цифр, то количество чисел, полученных перестановки цифр равнялось бы числу перестановок 6!=720. Довольно много. Наш случай попроще.

Представим наше число, как сумму 235235=235000+235. Разобьём его цифры на две одинаковые группы, и назовем их:

группа сотен 235;

группа тысяч 235.

Часть 1.  

Пока не переставляем цифры из группы в группу.

В группе сотен возможны 3! = 6 перестановок. Вот они:

235; 253; 325; 352; 523; 532.  

Посчитаем сумму этих чисел С₁:

С₁= 235+253+325+352+523+532=2220.

Возьмем группу тысяч 235. В этой группе точно также возможны только 6 различных чисел, полученных путем перестановок. Найдем сумму этих чисел Т₁. Очевидно, что сумма будет в 1000 раз больше, чем сумма чисел в группе сотен, т.е.  

Т₁=1000*С₁

Т₁= 2220*1000=2220000.

Теперь заметим, для каждого числа при перестановке из группы тысяч есть еще шесть чисел с переставленными цифрами из группы сотен.

Следовательно общая сумма S₁ чисел равна:

S₁=Т₁+6С₁;  

S₁=2220000+6*2220=2233320.

Часть 2.  

В части 1 указаны не все возможные перестановки цифр в числе 235235. Посмотрим внимательно на наши группы (группа тысяч и группа сотен). Рассмотрим все возможные варианты перестановки цифр из группы в группу. Естественно, переставляем из группы в группу только разные цифры.  И сразу будем считать суммы чисел S₂. Не забываем, что для каждого числа из группы тысяч есть в данном случае три числа (перестановки) из группы сотен.

Здесь под названиями групп записаны словами какими цифрами группы обмениваются. Далее пишутся числа с перестановкой цифр, и подсчитывается сумма этих чисел.

Есть всего 6 вариантов обмена цифрами. Распишем их все, чтобы не запутаться.

группа тысяч 235                                                     группа сотен 235  

1) двойка вместо тройки                                            тройка вместо двойки  

         225                                                                                        335

Т₂₁= 1000*(225+252+522)=999000                          С₂₁= 335+353+533= 1221  

S₂₁= Т₂₁+3*С₂₁= 999000+3*1221 =1002663.

2) двойка вместо пятерки                              пятерка вместо двойки

         232                                                                                         535

Т₂₂=1000*(232+223+322)=777000                             С₂₂=535+355+553=1443

S₂₂= Т₂₂+3*С₂₂=777000+3*1443=781329

3) тройка вместо двойки                                двойка вместо тройки

        335                                                                                       225

Т₂₃=1000*(335+353+533)= 1221000                            С₂₃=225+252+522=999

S₂₃= Т₂₃+3*С₂₃=1221000+3*999=1223997

4) тройка вместо пятерки                            пятерка вместо тройки

       233                                                                                        255  

Т₂₄= 1000*(233+323+332)=888000                           С₂₄=255+525+552=1332

S₂₄=Т₂₄+3*С₂₄=888000+3*1329=891996.

5) пятерка вместо двойки                        двойка вместо пятерки

             535                                                                                   232

Т₂₅= 1000*(535+355+553)=1443000                       С₂₅=232+322+223=777

S₂₅=Т₂₅+3*С₂₅

S₂₅=1443000+3*777=1445331.

6) пятерка вместо тройки                         тройка вместо пятерки

       255                                                                                  233

Т₂₆= 1000*(255+525+552)=1332000                      С₂₆=233+323+332=888

S₂₆=Т₂₆+3*С₂₆

S₂₆=1332000+3*888=1334664.

Cумма чисел  случая 2: S₂=S₂₁+S₂₂+S₂₃+S₂₄+S₂₅+S₂₆;

S₂=1002663+781329+1223997 +891996+1445331+1334664=6679980

Итого по обоим случаям:

S=S₁+S₂;

S=2233320+6679980=8913300