Вычисли площадь фигуры, ограниченной линиями y=x (в -2 степени), y=4, x=8
Через интегралы

4.5

Пошаговое объяснение:

Хорошо, давайте решим данный математический вопрос.

Перед тем, как рассмотреть задачу, давайте определим, что означает фраза "площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^(-2), y=4 и x=8". Создадим график и посмотрим, как выглядит эта фигура.

----------
| y=x^(-2) |
| _________ |
| / |
| / |
| / |
____________________
x=8
Так выглядит график функции y=x^(-2)
----------

Теперь давайте рассмотрим задачу. Нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной этими тремя линиями. Мы можем использовать интегралы для этого. Используем метод горизонтальных полос для расчета площади.

Первым шагом определим, в каких пределах будем интегрировать. Нам нужно найти точки пересечения графика y=x^(-2) с y=4 и x=8. Для этого приравняем уравнения и решим их:
x^(-2) = 4
1/x^2 = 4
x^2 = 1/4
x = 1/2 или x = -1/2 (у нас нет отрицательного значения в нашем диапазоне)

Таким образом, наша область интегрирования будет от x=-1/2 до x=8.

Теперь рассчитаем площадь каждой горизонтальной полосы. Обозначим высоту полосы как y и ширину как dx.

Мы знаем, что основание каждой полосы основывается на функции y=x^(-2), поэтому для нахождения высоты полосы, y, мы можем подставить x^(-2) вместо y в наши интегралы.

Теперь мы готовы записать наш интеграл для расчета площади:
S = ∫(от x=-1/2 до x=8) x^(-2)dx.

Решим этот интеграл пошагово:
∫x^(-2)dx = ∫(1/(x^2))dx.

Мы можем воспользоваться правилом степени, чтобы упростить этот интеграл:
∫(1/(x^2))dx = -1/x.

Теперь мы готовы рассчитать этот интеграл:
S = -1/x | от x=-1/2 до x=8.

Заменим верхний и нижний пределы интеграла в нашей формуле:
S = (-1/8) - (-1/(-1/2)).

Упростим это выражение:
S = (-1/8) + 2.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^(-2), y=4 и x=8, равна -1/8 + 2.

Для окончательного ответа, сложим -1/8 и 2:
S = 15/8.

Таким образом, площадь фигуры равна 15/8.