Вправильную четырехугольную усеченную пирамиду вписан шар. стороны основания равны 9см. и 4см. найдите объём пирамиды.

V = 266 см³.

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим сечение ABCD данной нам пирамиды. Сечение - равнобедренная трапеция  с вписанной в нее окружностью. Высота такой трапеции равна диаметру вписанной окружности. Соединим центр О вписанной окружности с вершинами С и D трапеции.  Заметим, что отрезки ОС и ОD - биссектрисы углов С и D трапеции, так как центр О равноудален от сторон трапеции (расстояния до сторон - радиусы вписанной окружности). Следовательно, треугольник СОD - прямоугольный, так как ∠BCD + ∠ADC = 180° (свойство трапеции), значит (1/2)·(∠BCD + ∠ADC) = 90°.

ОН - высота из прямого угла прямоугольного треугольника и равна √(СН·DH).

СН = (1/2)·BC, a DH = (1/2)·AD (как касательные из одной точки).

Итак, радиус вписанной окружности равен

R = √(2·4,5) = 3 см.

Высота усеченной трапеции равна h = 2·3 = 6см.

Объем усеченной пирамиды найдем по формуле:

V = (1/3)·h·(Soн + √(Soн·Soв) + Soв) + Sов), где

Soн - площадь нижнего основания, а Soв - площадь верхнего основания.

V = (1/3)·6·(81 + √(81·16) + 16) = 266 см³.

Или так: достроим усеченную пирамиду до полной. Тогда в сечении имеем подобные треугольники BSC и ASD с коэффициентом подобия k = BC/AD = 4/9.

SP/SM = x/(x+6) =>  x = 4,8 см.

Высота полной пирамиды равна 6+4,8 = 10,8 см.

Высота меньшей (отсекаемой) пирамиды равна 4,8см. Тогда

V1 = (1/3)·81·10,8 = 291,6 см³.

V2 = (1/3)·16·4,8 = 25,6 см³.

Объем усеченной пирамиды равен разности полной и отсекаемой пирамид.

V = V1 - V2 = 291,6 - 25,6 = 266 см³.