Восстановить аналитическую функцию f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по известной действительной или мнимых частях u(x,y)=x^2-y^2-xy
решить. заранее )

Для восстановления аналитической функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по заданной действительной или мнимой части u(x,y)=x^2-y^2-xy, мы должны воспользоваться условиями Коши-Римана.

Условия Коши-Римана гласят, что если функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является аналитической, то ее частные производные по x и y должны удовлетворять следующим соотношениям:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

Давайте воспользуемся этими условиями для нашей функции:

Для начала, найдем частные производные функции u(x,y):

∂u/∂x = ∂/∂x (x^2-y^2-xy) = 2x-y

∂u/∂y = ∂/∂y (x^2-y^2-xy) = -2y-x

Теперь применяем условия Коши-Римана:

2x-y = ∂v/∂y (1)
-2y-x = -∂v/∂x (2)

Используя первое уравнение (1), можем выразить ∂v/∂y:

∂v/∂y = 2x-y

Далее, интегрируем это уравнение по y для нахождения функции v(x,y):

v(x,y) = ∫(2x-y)dy = 2xy-y^2 + C(x) (3)

где C(x) - произвольная функция от x.

Теперь, используя второе уравнение (2), можем выразить -∂v/∂x:

-∂v/∂x = -2y-x

Для этого уравнения, интегрируем его по x для нахождения функции v(x,y):

v(x,y) = ∫(-2y-x)dx = -2xy - 0.5x^2 + C(y) (4)

где C(y) - новая произвольная функция от y.

Из уравнений (3) и (4) следует, что C(x) должна быть равна - 0.5x^2, а C(y) должна быть равна у -y^2.

Таким образом, функция v(x,y) может быть записана как:

v(x,y) = 2xy-y^2 - 0.5x^2

Теперь, чтобы восстановить аналитическую функцию f(z), мы можем записать:

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = x^2-y^2-xy + i(2xy-y^2-0.5x^2)

Итак, мы восстановили аналитическую функцию f(z) по известной действительной части u(x,y)=x^2-y^2-xy, которая имеет вид:

f(z) = x^2-y^2-xy + i(2xy-y^2-0.5x^2)

Этот ответ также подтверждается условиями Коши-Римана, т.к. полученные частные производные u(x,y) совпадают с выражением функции v(x,y), и условия Коши-Римана выполняются.