Вокруг треугольника abc описана окружность с центром o и радиусом 4, ∠abc = 60◦ . на стороне ab взята точка m такая, что am : mb = 2 : 3, ∠bmo = 30◦ . найдите площадь треугольника abc.

Диаметр и максимальная длина хорды заданной окружности равны 2*4=8.
Точка М принадлежит окружности с радиусом, равным (2/5)*4 = 1,6.
Угол ЕДА, как центральный, равен 2*30 = 60 градусов.
Поэтому прямая ОМ проходит через точку Е на оси ординат с координатами Е(0; 1,6).
Угол АОС равен 2*60 = 120 градусов.
Основание АС треугольника равно: АС = 2*4*cos 30° = 8*√3/2 = 4√3.
Тангенс угла наклона прямой ОМ равен:
tg KOE = (2-1.6)/(2√3) = 0.4/2√3 ≈  0,11547.
∡KOE = arc tg  0,11547 =  0,114961 радиан = 6,586776°.
Тогда угол наклона стороны АВ к оси абсцисс равен:
∡А =  30° +  6,586776° =36,586776°.
∡С = 180° - 60° - 36,586776° =  83,41322°.
Теперь по стороне и двум углам находим и боковые стороны (по теореме синусов) и площадь треугольника АВС (по формуле Герона).
Известно: сторона b  и два прилегающих угла A и С.
Стороны  b и с  равны  :          а                    b                        c
                                         6,9282032    4,768316485      7,947194142
Угол А,градус      36,58678
Угол В,градус      60
Угол С,градус      83,413224
  S = 16,40890239.