Висота рівнобедреної трапеції дорівнює h. Верхню основу трапеції із середини нижньої видно під кутом 2α, а нижню основу із середини верхньої - під кутом 2β . Знайти площу трапеції.

АВСД - равнобокая трапеция  .  АВ=СД . Высота трапеции = h .

ВК=КС ,  АН=НД .  ∠ВНС=2α  ,  ∠АКД=2β  .  Найти  S .

КН - отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

ΔАВК=ΔДСК по 1 признаку ( АВ=СД , ВК=КС  по условию, ∠В=∠С как углы в равнобедренной трапеции при основании)  ⇒  АК=КД .

ΔАКН=ΔДКН  по 3 признаку , так как АН=НД  по усл., КН - общая , АК=КД   ⇒   ∠АНК=∠ДНК=180°:2=90°  ,  ∠АКН=∠ДКН=∠ВКД:2=2β:2=β

Поэтому  КН ⊥ АД   ⇒   КН=h .

Из ΔКНД :   tgβ = НД/КН   ,   tgβ = НД/h   ⇒   НД = h · tgβ    

Но НД=АН  и   АД = АН+НД = 2h · tgβ              

Рассмотрим  ΔВКН . Аналогично предыдущим выкладкам доказываем, что ∠ВНК = α  ,  ∠ВКН=90°  , tgα = BK/KH   ⇒  

BK = h · tgα   ⇒    BC = BK+KC = 2h · tgα

Площадь трапеции равна

S=(AД+ВС) : 2 · КН = (2h · tgβ + 2h · tgα) : 2 · h = (h · tgβ+h · tgα) · h  

S = h²· ( tgα + tgβ )