Вгруппе в каждой тройке детей есть как пара друзей, так и пара «врагов». какое наибольшее число детей в группе могло быть?

Передружим всех детей, которые ещё не знакомы, это ничего не поменяет. Тогда любая пара детей либо дружит, либо враждует.
Покажем, что детей не может быть больше 5. 

Пусть детей хотя бы 6, рассмотрим одного из них, А, и ещё пятерых: Б, В, Г, Д и Е. Среди эти пяти детей будут или трое, с которыми А дружит, или трое, с которыми А враждует (если и тех и тех не больше двух, то всего детей было бы не больше четырёх). Будем считать, что А дружит с Б, В и Г (если враждует, всё будет аналогично). По условию среди тройки Б, В, Г будет пара враждующих, но тогда они вместе с А образуют тройку без друзей. Противоречие.

5 детей (А, Б, В, Г, Д) могут быть в группе: например, если дружат А и Б, Б и В, В и Г, Г и Д, Д и А, а все остальные пары враждуют, то условие будет выполнено.